当我们考虑两个随后的数学发展时，这一变化就变得非常重要。第一个是陶拉尔夫·斯科伦(Thoralf Skolem)在1923年的论文《不使用无限域上的约束变量，通过递归思维方式建立的基础算术基础》。斯科伦想要摆脱伯特兰·罗素与阿尔弗雷德·诺思·怀特海德(AlfredNorthWhitehead)的《数学原理》（他们经常使用量词“始终”和“有时”）中的存在与普遍性概念。因此，斯科伦用递归函数取代了存在。如果一致性可以从递归函数的角度来考虑，这意味着本体不再优于运算，但顺序是颠倒过来的：
如果我们认为算术的一般定理是函数断言并以递归思维方式为基础，那么这种科学可以凭借一种严格的方式建立，而不用罗素与怀特海德的“始终”和“有时”的概念。这也可以表示如下：在不使用约束逻辑变量的情况下，可以为算术提供逻辑基础。[63]
第二步是哥德尔发展的与图灵机等价的一般递归函数。正如我们今天所知，图灵机与邱奇(Church)的λ演算是对大卫·希尔伯特提出的判定问题的回应，我们在上一章中曾经对此简要讨论过。希尔伯特的代数于几何概念不同于他之前的数学家。希尔伯特的抱负是将数学还原为符号逻辑，以使所有证明都可以还原为形式化程序。判定问题涉及自然数的可计算性，图灵与哥德尔都指出希尔伯特问题没有解决方案。然而，也正是通过解决这一问题，图灵才能够开发我们今天所知的图灵机。
图灵对希尔伯特问题的回应涉及一个思想实验，它想象一条无限长的纸带，由正方形组成；有一个读写头可以读取正方形中的符号，计算它们，并输出相应的状态。在图灵的概念中，有一些重要的条件：(1)他假设一个理想化的人类计算机，其思维状态由其运作的符号定义；(2)他要求计算过程可以被图灵机模拟；(3)“需要考虑的思维状态的数量是有限的”。[64]思维的机械化在图灵机中以证明的数学工具来实现。从众所周知的邱奇-图灵假设的表述中可以清晰地看出：“算法的直观概念相当于图灵机算法。”[65]在哥德尔的证明中，我们找到了递归与图灵机之间的等价关系。哥德尔于1931年发表的题为“《数学原理》及有关系统中的形式不可判定命题”的论文包含了他的递归理论。与符号逻辑的形式化相反,哥德尔用数字(称为哥德尔数)运算化了形式系统，以使不同公理之间的关系可以用数字表示。这种新的编码方案遵循了希尔伯特处理符号时的相同逻辑——符号本身没有意义。[66]如今,当我们编写计算机程序时，我们可以编写一个非递归函数，但是我们基本上可以将每个运作和数字还原为递归函数。由于这个过程在很大程度上独立于观察，所以这种阐释学不能被视为一种独立的想象过程。递归函数只有在达到某个终态时才会停止，而在此过程中，过去的总在未来，因为每个函数都预期着某些会使过程结束的事情发生。当从关系的基本角度理解人与机器时，它产生了一个新的机能，正如前文所指出的，我命名为第三预存[67],作为对斯蒂格勒第三持存的回应(也是基于它)。
第六章 逻辑与时间
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