$$
{ \mathbf { b } } = \mathbf { \nabla } - 8 ( \tan \alpha \ \cdot \ \tan \beta \ ) / ( \tan \alpha \ - \tan \beta \ ) \ _ { \circ }
$$
爪臂顶端必须与这点接触。假定前臂和上臂都具有7个单位的固定长度，因而肘部只能位于半径为7个单位的两个圆的交点上：一个圆心在(a，b)处，另一个圆心在(0，0)处，也就是上臂从螃蟹身体上伸出的那个地方。求出这一相应的交点之后，实数空间的肘部坐标 $( \mathbf { x _ { e } } , \mathbf { y _ { e } } )$ 可给出如下：
$$
\begin{array} { r l } & { \mathbf { x _ { e } } = ( ( 4 9 - ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } + \mathbf { b } ^ { 2 } ) ^ { 2 } / 4 \mathbf { b } ^ { 2 } ) \cdot ( 1 - ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } / \mathbf { b } ^ { 2 } ) \big / } \\ & { \qquad ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } / \mathbf { b } ^ { 2 } ) + 1 ) ) ) ) ^ { 1 / 2 } + ( ( ( \mathbf { a } / \mathbf { b } ) \cdot } \\ & { \qquad ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } + \mathbf { b } ^ { 2 } ) / 2 \mathbf { b } ) ) / ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } / \mathbf { b } ^ { 2 } ) + 1 ) ^ { 1 / 2 } ) ) / ( ( \mathbf { a } ^ { 2 } / \mathbf { b } ^ { 2 } ) + 1 ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \mathbf { y _ { e } } = ( 4 9 - \mathbf { x _ { e } } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \circ } \end{array}
$$
实数空间中的三点(a，b)， $( \mathbf { x _ { e } } , \mathbf { y _ { e } } )$ ，(0，0)确定出爪臂的位置，其上臂和前臂的角度{θ，φ}最后给出如下：
$$
\begin{array} { l } { \displaystyle \theta = \tan ^ { - 1 } ( \mathbf { y _ { e } } / \mathbf { x _ { e } } ) } \\ { \displaystyle \varphi = 1 8 0 - ( \mathbf { \theta _ { \theta } } - \tan ^ { - 1 } ( ( \mathbf { b } - \mathbf { y _ { e } } ) / ( \mathbf { a } - \mathbf { x _ { e } } ) ) ) _ { \mathbf { o } } } \end{array}
$$
这些就是爪臂在运动状态空间中所需要的坐标。读者会注意到，合在一起的产生这些坐标的函数是相当复杂的。
无论复杂与否，如果在计算机屏幕上画出这个螃蟹，使它爪臂的最终位置(由计算机画出作为输出)就是它的眼睛位置(由我们输进作为输人)的特定的函数，那么这就构成了一个非常有效的和举止得当的感觉运动系统，特别是在我们编写如下的控制程序时。
设该程序使得螃蟹爪臂弯曲地靠在它的胸前(在 $\theta = 0 ^ { \circ }$ $\varphi = 1 8 0 ^ { \circ }$ 处)，直到某个适当的刺激对准两眼的中央凹为止。然后，让它的爪臂从初始状态空间位置 $( ( ) ^ { \circ } \ , \ 1 8 0 ^ { \circ } \ )$ ，沿着运动状态空间中的一条直线，向运动状态空间中计算好的目标位置运动。这就是在实数空间中爪臂的顶端与眼睛的三角测量点相接触的状态空间位置。这种安排产生出一个适度的仿真系统，无论它看到什么东西，只要在它爪臂的可达范围之中，就可以准确无误地抵达(图 $1 4 - 4 \mathbf { a } - \mathbf { c } )$
前面所列六个方程中关于螃蟹感觉运动变换的代数表述，并没有提供螃蟹的总性能的直觉概念。几何学表示的启发意义要大得多。下面我们来考察从螃蟹感觉状态空间(图14-5a)的活动部位，到它的运动状态空间(图14-5b)的正交网格的投影，它是由前面提出的函数形成的。也就是说，对于在感觉网格中显示的每一个点，我们都已经测绘出它在运动网格内的相应的爪臂位置。
14 认知神经生物学中的某些简化策略
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