推广到高维空间中，这条分割的“直线”不再是直线，而叫作超平面(hyperplane）。在三维空间中，超平面是二维的平面。在更高维空间中，超平面会更加抽象。为了方便描述这个超平面，我们需要知道如何用数学形式指代它，就像用 $\mathbf { y } = - \mathbf { x } + 2$ 表示图6-12的直线一样。
首先，我们要知道，在n维空间中，一个点的坐标需要n个数值来表示，即 $( \mathbf { x } 1 , \mathbf { x } 2 , . . . , \mathbf { x } \mathbf { n } )$ o我们可以把它简写为向量x，那么在n维空间中，超平面就可以用以下形式来表示：
$$
\mathbf { \Delta W } \circ \mathbf { \Delta x } + \mathbf { b } = 0
$$
其中，w和b是参数，就如同直线y=ax+b 中的a和 b一样，只不过这里的w是n维向量，b为实数。 $\mathrm { ~ w ~ } \bullet \mathrm { ~ x ~ } + \mathrm { b } > 0$ 和 $\mathrm { w } \cdot \mathrm { x } + \mathrm { b } < 0$ 分别对应超平面两侧的空间。对于一个未知标签的样本点x，我们只需看wx+b的正负，即可判别它是正值样本还是负值样本。这种分类模型叫作感知机（perceptron）。
让我们回到二维平面的例子。可以将图中两种点完全隔离的直线有无数条，那么其中是否存在一条最优的直线呢？
在图6-15中，直线a和b都能分离两种点，但当更多的点进来后，直线a将其中1个点错误地归类了，这是因为我们这条线画的“不够好”，离样本点太近，导致对新来的点划分不够精确。直线b做得更好，是因为它离两边的点都比较远，因此更容易将新来的点划分正确。于是我们想到，最“中间”的直线是最合适的。也就是说，我们应该找到离两侧样本点簇都尽可能远的直线。用专业术语来表示的话，就是让这个分类器的margin最大。
以上讨论的都是线性可分的情形。对于线性不可分的情况，SVM的解决方案是通过核函数进行空间变换，将低位空间投射到高位空间中去，使经过变换后的样本点实现线性可分。说起来可能有些玄幻，但这确实是可行的。
人工智能与大数据技术导论
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