看到这里，部分读者可能有一个疑问：要判断y 和 $y ^ { \prime }$ 之间的误差，直接把二者相减看看结果大小不就行了吗？就算是向量也可以做加减法，为何还要专门搞个函数来衡量误差呢？答案是此处进行的并非两个向量值之间的简单对比，而是在连续多个输入（x）下得到的多个多维向量 $\left( \boldsymbol { \mathbf { \mathit { y } } } ^ { \prime } \right.$ 和y）之间按照不同的差异度量指标进行比较。
举个例子，假设y 和 $y ^ { \prime }$ 都是二维向量（由两个值构成的向量），由于实际样本来源于传感器或者数据库收集的数据，因此通常是离散的，而模型的输出值是决策函数的计算结果，完全可以是连续的。我们在二维平面中把实际输出值y 用点表示，模型的输出值 $y ^ { \prime }$ 用线表示，把两者放在同一个坐标系中，形成如图 6-12 所示的结果。现在请思考一个问题，有什么依据可以用来判定这样一条线与所有点的差异最小？换句话说，这条线是最能拟合所有点的线吗？如果把线上下稍微偏移一下，或者角度稍微旋转 $3 ^ { \circ }$ 或者 $5 ^ { \circ }$ ，它与实际值的差距有没有可能更小呢？
要解答这个问题，就必须先确定“差距”是如何定义的。其中一种比较直观的衡量差距大小的方法是，把y 与 $y ^ { \prime }$ 之间的差距理解为它们在欧氏空间中位置的距离，即两个向量之间的欧氏距离<sup>○一</sup>。我们要让 $\boldsymbol { y }$ 与 $y ^ { \prime }$ 的误差最小，就要使得它们的欧氏距离最短，其背后等价的意义就是在这一群点中画一条线，让所有点到直线的距离之和最小。
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第三部分 第三波高潮
○一 在数学中，欧氏距离或欧氏度量是欧氏空间中两点之间的“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。