人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

构架于严格逻辑体系的理性系统至少应该是自洽（Consistency）和完备（Completeness）的。

自洽，要求理论有效，不能自相矛盾；完备，要求理论有用，能够对体系内有效的命题进行判断。

如果一个理论系统前后矛盾，那么它不会有任何用处。在一个矛盾的理论体系里，任何命题都能被证明。同样，在一个有用的理论体系中，用这个理论体系所规定的名词给出一个命题时，这个命题的对错应该是可以通过理论的基础假设和合理的逻辑推演来判定的。否则的话，连对错都不能告诉我们的理论体系有什么用呢？这两点都做到的话，才是一个完美的体系，“完”，在于完备，“美”，在于它至少不是自相矛盾的。

自洽性要求

符合逻辑的理论体系应该是自洽的，也就是说它是前后一致的，没有矛盾的，不光是一句话里没有矛盾，是理论体系内处处不能有矛盾。否则的话这些矛盾总能碰到一起，从而使整个体系丧失公信力。建立一套知识理论体系，首要的任务是证明命题系统的无矛盾性。这个要求很自然，否则如果从命题中推出相互矛盾的结果来，那么这个命题构成的任何说法都毫无价值。自洽的要求极其朴素，你不能刚说了什么，接着就又说自己刚才说的不对。在说话的时候，不能自带武器来攻击自己。至少也是别人用另外的话语和证据来说明你的言论有不当的地方，而不是都不用别人出手，自己就把自己打败了。

自洽源于一个可信服的原理，即逻辑上不相容的命题不可能同时为真；如果一组命题是真的，那么这些命题逻辑上是相互协调一致的。如果说一个知识系统是自洽的，那么不可能得出0≠0的结果；或者不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的。

一句话来说，不自洽的假设证明一切。

罗素是教皇

从单纯的逻辑上来讲，不自洽（存在矛盾）的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。伯兰特·罗素（ Bertrand Russell ） 证 明 他 能 从 “2+2=5” 推 出 “ 罗 素 是 教皇”。罗素证明如下：

由于2+2=5，等式的两边同时减去2，

得出2=3；两边同时再减去1，

得出1=2；两边移位，

得出2=1。

教皇与罗素是两个人，既然2=1，教皇和罗素就是1个人，所以“罗素就是教皇”。

罗素因此也可以是任何人。这个不靠谱的结论，就是由一个与已知知识矛盾的假设引发出来的。我们既然在算术系统中可以证明真的命题2+2=4，那么2+2=5便成为与之矛盾的命题了。同样，不自洽的体系内可以推出任何结论。

完备性要求

如果说一个知识系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，即每一个系统内的真理都对应着一个定理和它的证明过程。

完备性是另一个知识理论体系的朴实的要求。我们希望学习一套知识，就会给我们个可靠的说法。问一个问题，总该给我们一个确定的答案，对还是错，给个准话。辛辛苦苦建立起来的一套没有矛盾的理论体系里有很多很多命题，我们总希望每个命题都能判断对错。我们这里说的命题，就是简单到像“2+2=4”，“在没有外力作用下物体会沿着直线做匀速运动”，“明天会下雨”，“柿子10元钱一斤”。当然也有复杂的，比如哥德巴赫猜想，即“大于4的偶数，总能写成两个质数的和”。这些命题并不属于同一个命题体系，自然数建立了算术的知识体系，气候建立了气候的，而物理学建立了物理学的。这些知识体系有一个共同的特点：它们必然建立在某一些“不证自明”的前提条件上。传统意义上这些前提条件被称为公理，但可能称为“公设”会更合适一些，要明确它们不过是共同承认的“公允的假设”，未必有理。“理”给人一种更强的默认是对的含义，而事实上，我们从本书里可以看到，这些假设未必总是真的。我们常常会看到理论系统所依赖的不证自明的公理会随着新的证据出现而动摇，而在本书接下来的讨论中我们也会发现，公理本身并不能够证明它的正确性，因此说它是“公允的假设”，比“公允的道理”或“公允的真理”更符合事实。

人们建立一套知识体系，希望这套知识体系能够回答我们提出的问题。如果我们用这个体系的语言工具不能够回答我们提出的问题，这个体系就还不完备，那应该继续扩展这个体系，让它能够解答我们提出的问题。同时我们希望这套理论可以描述它自己的问题。一个命题用这套新的理论描述出来，我们应该有办法来判别它是对的或错的。我们也常常利用自洽性来检测完备性的要求，即使用反证法，但凡是用了反证法的证明，都要在系统是自洽的这一假设下能得到矛盾的结论，这个证明或者证伪才是有效的。

构建一个知识体系

符合逻辑要求的知识理论体系的建立开始于一些不证自明的公设。公设是一系列存而不证的假设，因此我们希望公设越少越好。公设之间应该是互相独立的，若是有一条公设能够由其他公设推论出来，那么这条公设就是多余的。一套公设应该容许我们对这门科学下的每条命题加以判别其为真或为假。我们通常也把这样的公设体系和它们基于逻辑推演规则得出来的命题系统总称为形式系统。它是构建一切已知科学知识体系的基础。当然，我们用来做逻辑推演的规则本身，也是公设内容之一，只不过它们在各种理论体系中都被普遍地使用，从而成为逻辑的通用要求。像其他公设一样，这些作为推演规则的公设，一样可以被怀疑。

我们举一个例子。任何学习过几何的人，无疑都会认为它是一门完美的由演绎而产生的学科。由演绎而产生的学科与由经验产生的学问不同。在经验学问中，一个定理只要和观察相一致就会被接受。但在几何学中，一个定理是经由明确的逻辑证明得出的结论。这种对定理要求的观念可追溯到古希腊人，正是他们发明了所谓的公设方法，并且基于这种方法系统发展了几何学。

总而言之，公设方法，就是先不加证明地将某些命题当作公设或前提，例如“通过两点只能画一条直线”的公设，然后从公设导出系统中的所有其他命题为定理。公设构成了系统的基础，定理则是从公设仅依靠逻辑原则的演绎所得出的被证明为真的“上层建筑”。

我们常见到的大部分棋类游戏也是形式系统，比如中国象棋，它们是严格按照公设体系建立起来的。系统的语法将指明，什么样的符号串（陈述）是合适的（这代表棋盘上的有效结构，例如黑象不能位于红方半场内）。这样，语法正确的句子就代表下棋的任何一个阶段的可能状态。形式系统的推理规则不过是把一个合适符号串转换成另一个合适符号串的各种不同途径而已，即把一个合理的棋局推演到另外一个合理的棋局的“走棋”。换句话说，推理规则代表在下棋的任何阶段可允许的各种走法，而下棋的公设对应着开局时初始格局棋子的摆法。

操作规则（在中国象棋的公设化系统中）

公设：开局的棋盘摆法。

推演规则：象棋每一个棋子的走动规则。

定理：符合规则走出来的新的棋盘局面。

陈述：任何一种棋子在象棋盘上的摆放方式。

一种棋子在棋盘上的摆放方式未必能够真的走得出来，所以不是每一个陈述都能被证明为定理。这样我们也可以理解，为什么大多数情况下证明一个定理比否定一个陈述要难。因为证明一个定理只要走出来就好，但否定一个陈述要把所有的走法都走过一次，除非错误特别明显，比如将“象”放在了棋盘的米字格内。这相当于后面我们会讲到的NP（Non-deterministic Polynomial，即多项式复杂程度的非确定性）问题，对于NP问题找到证明是困难的，但验证起来并不难。

公设系统应该是完备的，应该能够对系统下的每个命题加以证实或证伪。也就是说，不应该容许不可判定命题的出现。然而，我们很快就会看到，事情远远不是看起来的那么美好。譬如说：

“本命题是假的”，是既不真也不假，“没有真假值”的句子。

“本命题不可被证明”，是一个有“真值”但无法证明其真实性的句子。

[1] 《量子大唠嗑》，马兆远著，中信出版集团2016年10月出版。——编者注

第三章理性的终极理想

人类希望通过逻辑工具来建立冷静客观的知识体系，这个知识体系不应该有任何主观的知识和情绪夹杂在其中，但问题是一旦有了这样的体系，并且这样的体系可以自动去包罗万象而形成所谓的人工智能的时候，人本身的作用就不大了。

直觉？

科学的历史，是一个与人类直觉做斗争而相爱相杀的历史。

很多宗教信仰，都以人类为中心，即使不这么声称，但归根到底都与人有特殊关系。《圣经》记述我们人因为上帝的眷顾而成了被选择的特殊一群。上帝为他自己的孩子——人类，创造了整个世界。类似的以人为中心的信仰有几千年甚至一万四千年的历史。随着地心说的势衰，牛顿力学的建立，我们越来越被移出了宇宙的中心。当我们有能力看到浩瀚的太空时，我们越来越不相信自己就是宇宙中最重要的部分了。这种不重要也让人们意识到，不仅“我们”不重要了，“我”也不重要了。我们对于自然的认知，不应该取决于某一个人的观点，或者某一个人的某些具体特征。即使有时候不得不采用人为的标准，也会试图让所有人都参与，通过人数来平均个体的差异，谁也不搞特殊化。据说德国人16世纪定义“尺”的长度，就用某一个星期日礼拜之后从教堂里走出来的前16个人的平均脚长。但法国人在定义“米”作为长度单位的时候，采取了更客观的策略：以地球为标准，谁说了也不算，本初子午线的4000万分之一为一米。因此，地球经线的长度是精确的4万千米。理性让科学认知离人类的直觉越来越远，这似乎是对的。因为直觉，某人的直觉，某些人的直觉，似乎并不可靠。

直觉确实有谜一般的性质。

它到底来源于什么？我想本书以及以后很多年的书都无法说清楚。在人类追求终极理性这么多年的情况下它还依然坚强地活着、活跃着，这在一定意义上说明事情远远比我们想象的要复杂得多。