人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

我们自然地把自然数当作某种符号的集合，这些符号具有某种特性，我们把这种集合标记为N。那么公设1告诉我们“1”是集合N中的一个元素，即1属于集合N，即图3–4所示：

这似乎没有什么特别，我们看公设2，对于任意自然数n，其后继数n'都是自然数。我们现在还不能认为 ${ \overset { \mathbf { \cdot } } { \eta } } = m + 1$ 。因为直到这条公设，我们还没有任何举动来定义“+”这个字符。事实上，正如数学家哥德尔所说的，如果到此为止的话，仅有这两条，这个公设系统还不能表达足够丰富的内容。那么，是不是说“1”是自然数，“2”就是自然数了呢？也还不能这么说。因为，根据公设1和公设2，我们没有定义字符“2”。我们姑且把n'作为使用的字符，1'作为1的后继数。那么根据公设2来说1'也是一个自然数。注意这并不是矫情或者不必要的烦琐，我们只是太熟悉用工具来制造新东西，而常常忘记了工具本身也是被制造出来的，我们一样要考察工具的可靠性。

这时，我们有了图3–5：

图3–5

根据公设2，我们有了图3–6：

虽然公设1和公设2不算太复杂，但我们已经可以用它来定义几乎无穷多符号和它们的一些基本性质。更重要的是，我们已经在使用演绎法，通过逻辑推理由公设得出结论。并且由于我们不断地使用同一个公设，事实上，我们已经开始尝到了自然递归的味道，在数学证明中这是个常用的方法。

公设3 对于任意自然数n， $n ^ { \prime }$ ≠1都成立。

这似乎是废话，我们确实可以得出的结论是1'≠1，但这有什么用吗？另外一个结论似乎是，1是最小的自然数。但问题是，我们还没有定义“大小”，因此也不知道怎么比较大小。所以也不存在“1是最小的自然数”这个结论。我们只能说1不是任何数的后继。

我们先看一下公设4，然后再返回来看看为什么要有公设3。

公设4 对于任意自然数m，n，若m $" = n "$ ，则m=n。

这似乎又是理所当然的。当m的后继和n的后继相等的时候，m等于n。这不是相当于 $m { + } 1 { = } m { + } 1$ ，得出来m=n吗？事实上，我们还没有定义$^ { 6 6 } + { } ^ { 9 9 }$ ，但公设4确实要给我们定义一些使用的算法了，比如这个所谓的后继符号“ ' ”，到底是个怎样的运算，即“后继”应该具有哪些性质。

如果我们假设想要的自然数序列是：

$$
1 \longrightarrow 1 ^ { \prime } \longrightarrow 1 ^ { \prime \prime } \longrightarrow 1 ^ { \prime \prime \prime } \longrightarrow 1 ^ { \prime \prime \prime } \longrightarrow 1 ^ { \prime \prime \prime \prime } \cdots
$$

如果没有公设4的要求，我们可以定义， $1 ^ { \prime \prime \prime \prime } = 1 ^ { \prime }$ ，即使1不等于1'''但也可以有 ${ \bf \Phi } _ { 1 } ( \bf { \Phi } ) ^ { \circ \circ \circ } = { 1 \bf { \Phi } } ^ { \prime }$ ，这样会造成：

$$
\begin{array} { c } { { 1 ^ { \prime \prime \prime \prime } 1 ^ { \prime \prime \prime } } } \\ { { \downarrow \qquad \uparrow } } \\ { { 1 1 ^ { \prime } 1 ^ { \prime \prime } 1 ^ { \prime \prime } } } \end{array}
$$

这样的结构，完全满足公设1、公设2和公设3，但它不是我们想要的。

所以皮亚诺想要定义的是：1是自然数，所以才有了公设1，任意自然数都有后继数，所以有了公设2，然后，没有后继数为1的自然数，所以有了公设3，后继数一个一个延伸下去，这个序列是单向的，不许回头，不可以打结，所以有了公设4。

有了公设1、公设2 和公设3，但不能避免形成这样的序列：

公设1，公设2和公设3都没有限制这个序列里的所有元素是从1过来的。这个序列走着走着有可能有别的符号加入，所以公设4是用来防止其他来源的符号与已定义的自然数列会合。但这样是不是有公设4就不需要公设3了呢？如果只有公设1、公设2和公设4，自然数还可能有这种结构：

$$
\cdots a ( \to 1 \to 1 ^ { \prime } \to 1 ^ { \prime \prime } \to 1 ^ { \prime \prime \prime } \to 1 ^ { \prime \prime \prime } \cdots
$$

这个数列从莫名其妙的地方来，最终跑到莫名其妙的无穷远去。所以我们必须规定，1是唯一排在最前面的起点。

公设5 假设对自然数n的谓词P（n）而言，下面的（a）和（b）都成立：

（a）P（1）成立；

（b）对于任意自然数k，P（k）成立，则P（k'）成立；则，对于任意自然数n，P（n）都成立。

公设5叙述了如何证明“对于任意自然数n，P（n）都成立”，即我们说的数学归纳法。自然数定义中出现了数学归纳法，暗示着归纳法跟自然数的天生联系。如果自然数是有限的，只有1，1'，1''这三个，我们只要证明P（1）、 $P \ ( 1 ^ { \prime } )$ 和 ${ | \cal { P } ( 1 ) ^ { , } \cal { \Sigma } } )$ ）成立，就可以证明对于所有自然数n，P（n）都成立。然而，自然数有无穷多个，我们不可能实际调查无数个自然数。如果我们希望对自然数整体有一个评判，就需要用数学归纳法。公设5定义了一种机制，这种机制使局部观察到的自然数特性可以扩展到整个自然数序列里。

由这里出发，数学归纳法有两个步骤：

（a）出发点：证明命题P（1）成立；

（b）证明对于任意自然数k，P（k）成立， $P \left( k ^ { \prime } \right)$ 也成立。

如果能够证明（a）和（b），那么就能证明对所有自然数n，P（n）都成立。

现在我们可以有足够的工具做基础来定义加法“+”了。

公设ADD1 对于任意自然数n， $\boldsymbol { \eta } + \boldsymbol { \mathit { l } } { = } \boldsymbol { \mathit { n } } ^ { 2 }$ 都成立；

公设ADD2 对于任意自然数m， $n , \mod n ^ { \prime } = \ ( \mod n )$ '都成立。

比如：

$$
\begin{array} { r l } { 1 + 1 ^ { \prime } = ( 1 + 1 ) \ ^ { \prime } } & { \underset { } { \bigwedge } 1 + 1 ^ { n } D D 2 1 , \ n = 1 } \\ & { } \\ { = ( 1 ^ { \prime } ) \ ^ { \prime } } & { \underset { } { \bigwedge } 1 + 1 ^ { n } D D I \ \not \equiv n = 1 } \\ & { } \\ { = 1 ^ { m } } & { \underset { } { \sum } 1 + 1 ^ { n } \underset { } { \big } 1 } \end{array}
$$

终于，为了方便，我们定义符号1'=2，1''=3……并且我们刚刚利用加法公设ADD1和公设ADD2证明了定理1+2=3，即陈述（谓词）：

噢耶！

集合定义自然数

公 元 前 六 七 世 纪 几 何 学 在 古 希 腊 兴 起 ， 德 谟 克 利 特（ Democritus ） 、 毕 达 哥 拉 斯 （ Pythagoras ） 、 阿 基 米 德（Archimedes）等人是其中的代表人物。欧几里得（Euclid）全面总结以前的研究成果，写成了《几何原本》一书，这本书全面总结了古希腊人对世界的理解和古希腊人的思维模式，对后世产生了不可估量的影响。这个思维模式的形成和传承比接下来两千年里的所有科学成就的总和还要大，不过人们意识到这一点却要等到文艺复兴之后了。

《几何原本》之所以重要，是因为它构造了一个完整的形式逻辑体系，成为接下来两千多年来人类对理性追求的典范。古希腊的先哲一直对逻辑有深入地探讨，主要集中在形式逻辑的演绎层面及形式逻辑和真实世界到底有何关联。欧几里得以天才的构思，总结了古希腊人的思维框架：

$$
\sin \angle A B C = \angle E C D = \angle E C D = \angle A C D = \angle A C D
$$

基于这样的思维框架，公元前300年，欧几里得写了《几何原本》，作为合理的假设，他确定了五条几何的基本公设：

1.任意两个点可以通过一条直线连接。

2.任意线段能无限延伸成一条直线。

3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径画一个圆。

1+2=3为真。

4.所有直角都全等。

5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

欧几里得几何是完美的理性学科的样本，把所有的学科都塑造成欧几里得几何的样子成了人类孜孜不倦地为之奋斗了几千年的梦想。然而，问题似乎还差一点点，对较真儿的人来说还有一点点不和谐：第5条公设似乎有点多余。第5条公设被称为平行公设，它似乎啰里啰唆的有点长。从它可以导出下述命题：平行线在无穷远处不相交。这条公设能不能从其他四条公设里推导出来呢？两千多年来很多人怀疑这个公设的必要性，也试图用另外四条公设来证明它。甚至19世纪的数学家试图利用反证法来证明这条公设是可以从其他四条公设里推导出来的，比如假设平行线在无穷远处相交，然后证明这个假设不符合逻辑。但很快人们就发现，只由前面四条公设一起，给予不同的第5条公设，可以完全推导出独立于欧几里得几何的新几何学，而自然世界真的有客观事实跟这个新几何学对应。比如地球上某一区域的经线就是互相平行的线，但在南北极是相交的！同样，如果假设两条平行线越分越远，那么空间中一样可以有一个马鞍形的面，使其在无穷远处越分越远。在这些新的公设基础上，黎曼几何发展起来，并且成为爱因斯坦广义相对论中的空间弯曲的数学基础。

几何学公理化发展对后人产生了深远的影响：这样少的几条公设，支撑了无穷无尽的命题。而且，逻辑推演能够以确定的方式保证这些命题为真。实际上，两千多年来绝大多数学者都毫无疑问地相信欧几里得几何是关于空间的真理，即所有定理的真理性和相互间的自洽性都自动得到保证。由于这些原因，世世代代杰出的思想家，均将公设演绎而得出的几何学视为科学知识最好的典范。通过直觉，人们普遍认为数学的每一分支都能找到一组公设，从这些公设出发就足以系统地推导出在此研究领域中无穷无尽的所有真命题。但当修改其中一条公设，一样可以构建没有矛盾的但完全不同的几何体系，对完美主义者而言这绝对不是个好消息，到底哪一套才是对的？这个典范居然会依靠假设，而这假设从哪里来？它是否是可以立足的，或者这些最初的假设其实可以证明自己是正确的？

同构原理

19世纪，人们发现通过对定理的映射，可以把关于某一数学学科的理论，映射到一套基本理论上，并将之称为同构原理。比如我们可以把几何用代数来全面取代，利用笛卡儿（Rene Descartes）的坐标几何把欧几里得几何公设都转化为代数定理。

在这种转化中：

点：被视为一对数 $( \ _ { X } , \ y )$

直线：被视为二元一次方程 $y = a X ^ { + } b ;$

圆：被视为某种形式的二元二次方程 $\mathrm { R } ^ { 2 } { = } \mathrm { x } ^ { 2 } { + } \mathrm { y } ^ { 2 }$