人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

数学系统里的具体理论分支可以说是非常复杂和抽象的，但同构原理可以把复杂的数学系统简约化，从而变成在另外一套系统中可能很简单的问题。数学讨论的大多数问题是关于“数”和“形”的。“形”是几何学讨论的范围，但是几何可以坐标化。例如：在平面几何中，如果我们把以（x，y）为坐标的点直接看成实数对（x，y），那么我们便可以省掉“形”的观念，直接以实数来讨论它了。至于实数，理查德·狄德金（Richard Dedekind）和格奥尔格·康托（GeorgCantor）在19世纪中叶各引入一套实数的理论，以有理数为素材把实

数建构出来，有理数 可以想成整数对 $( \ m , \ n )$ ，其中 $\eta \neq 0$ ；若m

$( \vec { m } \ , \vec { n } \ )$ 为另一个这种整数对，则当 $m \boldsymbol { n } ^ { \prime } = m ^ { \prime }$ n时，我们把 和

$$
\frac { m ^ { \prime } } { n ^ { \prime } }
$$

看成等同，这样我们便可以用整数为素材把有理数建构出来了。至于整数，也可以用类似的方法从正整数，即自然数中建构出来。这样我们可以把整个数学建立在自然数基础之上。

更复杂些的是，通过对操作符号的规定，我们也可以把代数映射到自然数定理系统里，用自然数来代替代数。这样的策略在今天看来是很自然的事情，如果我们学习计算机原理，看到用01和位操作就能在计算机上执行很多事情，对这样的方法就一点也不惊奇了，而这正是图灵机所采用的策略。在自然数上如果证明了自然数系统本身的完美（我们还是暂且用“完美”这个词），它包括完备和自洽，那么别的数学学科系统也会自然地完美了。

很快，自然数所代表的初等算术系统，也可以用另外一套形式系统来充分映射和表达：人们发展了集合论（Set theory），用集合可以完全定义初等数学，由此我们只需要关心集合论是不是完美的。

然而这样做一样会有问题，利用同构原理我们只是把问题从一个领域转到了另外一个领域。人们总希望见到数学体系是自洽并完备的，而我们知道自洽和完备意味着理论系统的有效性和有用性。几何自洽性转移到代数自洽性的论证，无非是表明如果代数是自洽的，那么几何体系也是自洽的。但怎样证明代数的自洽性呢？这种证明只是说明了一个体系的自洽性跟另一个体系的自洽性有关，问题由一个领域移到了另外一个领域，因而不是一个对自洽性的“绝对”证明。

在19世纪中叶，康托创立了集合论。根据集合理论，当我们把一些清晰可分的在客观世界中或我们思想中的事物看成一类时，这整体便称为集合，其中的事物称为它的元素。若x是集合A的元素，我们便用x∈A表示；若x不是集合A的元素，则以x∉A表示；不包含任何元素的集合叫空集，通常用符号 ∅ 表示，空集和自然数中的0相当。以元素a，b，c为元素的集合，可以用{a，b，c}表示。有了这些准备以后，我们就可以把自然数的系统建立在集合论上，方法是：0=∅，1={0}，2={1，2}，3={0，1，2}……如此整个算术系统进而整个数学系统就可以建立在集合论上了。

然而，当一切都指向数学理论大统一，理性的前程一片光明与美好的时候，20世纪初，集合论出现了难以解决的悖论。其中最重要的一个是1902年罗素所提出的。罗素认为，集合也可以作为集合里的元素，有些集合可以以其本身为元素。若定义一个集合由一切不属于自身的集合所组成，那么这个集合是否包含它自己呢？用排中律衡量，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问此集合是否属于它自己是有确定意义的。但集合论对罗素的这个看似合理的问题的回答却陷入了两难境地。通俗来讲，它与著名的“理发师的悖论”有相通之处：某村的理发师号称给村子里所有自己不理发的人理发，问题是，理发师该不该给自己理发？

看似简单，但这样的悖论造成数学界的大地震，因为根据同构原理，整个数学系统的建构是以集合论为基础的。如果集合论里有不能解决的问题，那么其他理论里也有一样解决不了的问题，这样数学就缺乏了我们希望它应该具有的完备性，那么整个数学理论就可能需要重建了！简单的解决方案是先重建和理顺集合论的表达，这是20世纪前半叶很多数理学家都在尝试的办法。人们认为问题出在康托给集合所下的定义不够严谨，集合论必须重新出发，把集合与整数等观念看成纸上的符号，再说明哪些符号串有意义，在有意义的符号串上允许哪些变换，等等。这样便可以把各种悖论的问题同时解决。

但同时，既然罗素提出了这样一个关于在集合论内部的不可判定的问题，人们接着想到另外一些深刻而令人胆寒的问题：

数学本身是自洽的吗？也就是说，数学是否前后一致，会不会得出某个数学陈述又对又不对的结论？数学是否没有内部矛盾？

数学本身是完备的吗？也就是说，面对那些正确的数学陈述，我们是否总能找出一个证明？数学真理是否总能被证明？

数学本身是可判定的吗？也就是说，我们能否最终找到一种方法，仅仅通过机械化的计算，就能判定某个数学陈述是对是错？数学证明能否机械化？

这些问题会引来一个更为深刻的讨论，数学本身是不是客观稳定并自然存在的知识呢？那么以数学为基础的科学呢？

人类认为科学知识具有确定性、绝对性和永恒性的观念有着悠久的历史传统。欧几里得几何学曾经代表了人类认知追求确定性的不可抗拒的信仰。从古希腊确立理性主义的认知方式以来，人类总是追求具有普遍必然性的确定性知识。理性主义知识论者笛卡儿更是将数学视为科学知识的唯一范式：“因为它立足于公设上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。 99

随着数学对自然现象的强大无比的阐释，知识具有确定性的观念也被进一步强化了。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon

Laplace）甚至说：“世界的未来是完全由它的过去决定的，而且只要掌握了这个世界在任一给定时刻的状态的数学信息，就能预测未来。”这也成为一个著名的悖论——拉普拉斯悖论。那么这一切都已经决定了的数学信息包括人类的意识吗？不管怎么说，正是由于先贤建构并确立了追求确定性知识的认识科学的思维方式并形成传统，后来的哲学家总是寻求方法来维护所获得的科学知识的普遍必然性或说确定性。直到今天，确定性依然是绝大多数人心目中“科学”之所以为科学的本质特征。这是传统知识论的主题，也是科学哲学的主题。但是哥德尔不完备定理说明，不确定性是人类认知的形式逻辑和理性思维本身固有的，即使纯粹的数学也无法彻底达到确定性。进一步说，数学概念和理论如果与人们的实际经验和科学观察相结合，会产生更大的不确定性。在任何希望做到足够严谨的知识体系中，绝对的确定性是不存在的。

[1] 英尺，英美制长度单位，一英尺等于12英寸，合0.3048米。——编者注

第四章伟大的聊天

可怜的哥德尔不能自证其重要性，我们只能请已经被证明重要性的爱因斯坦来证明。但有意思的是，即使做了这么多年科学，尤其是物理和数学，我也依然有很多问题不敢问，或者即使问了也未必有人会知道。在这一章我大胆地罗列出来，但愿这两个人讨论过了吧。

虽然我上一本书的书名“量子大唠嗑”显得不那么科学、严谨和认真，但唠嗑这件事情对人类来说真是无比重要。唠嗑交流的不仅是语言，还有身心，对话可以交流一部分信息，而信息的交流未必仅限于语言。当你用身心去感受，它可以是声音、气息、光和温度，是眼神和手势。当我们不再把信息局限为某种可被记录的01序列，漫无边际的唠嗑是用语言来补充这些额外的不能尽述的信息。我们喜欢亲近自然而与自然对话，由风到气息，我们在山林中与天地交互，养浩然之气；夜深人静我们也跟自己对话，回答来自内心的问题；我们与朋友交谈，与他人一起消磨时间，在与人的交往中获得身心的愉悦。

我算是一个喜欢动脑筋的人，跟智者聊天在我看来是一种福分和快乐。如果能够穿越，我一定要穿越到20世纪40年代到50年代的普林斯顿。在那时那地，整个人类史上最智慧的两个大脑，每天在一起聊天。我必然做一个可以随时插话的隐形人，一个给捣蛋鬼和他的挚友捣蛋的穿越捣蛋鬼^[1]。因为我知道聊天的力量，当两个绝世高手每天切磋武功而各自回家做功课第二天接着切磋，如此往复十几年，那要把其他人类甩到哪里？这俩人到底聊些什么？

哥德尔出生于1906年，比出生于1879年的爱因斯坦小27岁。他出生的前一年，是爱因斯坦的奇迹年。1905年，爱因斯坦发表了三篇论文，分别奠定了量子力学、热力学统计和相对论这三大现代物理学领域的基础。那一年他认为不太重要的工作——研究电子的光电效应，为他赢得了1921年的诺贝尔物理学奖。而他最得意的相对论，在被他提出很多年后人们都还表示怀疑。

就这两位绝世高手的相似点来说：他们都极其睿智；两个人都是以德语为母语，都在战前逃离了希特勒的纳粹统治；他们都在普林斯顿工作到离世。就不同点而言：哥德尔沉默寡言、悲观、孤独，有着奇怪的饮食习惯，他小心翼翼地选择食物，就像吃婴儿食品一样，他最喜欢的电影是《白雪公主和七个小矮人》；爱因斯坦活跃开朗、更加合群，喜欢小提琴和莫扎特，无论到哪里讲学，都是万人瞩目、前呼后拥的明星。

但爱因斯坦和哥德尔似乎永远在比同时期其他人更高的层面上思考问题。按爱因斯坦的话来说，他们也因此变成了“博物馆里的老物件”。爱因斯坦不接受量子理论，哥德尔相信幽灵、重生和时间旅行，并认为抽象的数学事实上与桌椅一样真实。很多同时代的科学家认为这种看法是可笑的天真。哥德尔和爱因斯坦都坚持认为，世界独立于我们的思想，但可以通过人的思维理性认知。除此之外，两个反叛者，两个革命者，摧毁了人类认知中最引以为豪的精确知识基础——物理学和数学。

智慧带给他们共同的孤独感，绝对的智慧带来绝对的孤独，他们在彼此的陪伴中找到了心灵的慰藉。

当他们在普林斯顿高级研究所工作时，爱因斯坦和哥德尔每天都会一起走路上下班。然而，居然没有一个人在他们身边听到他们的谈话。而对于我这种会把握聊天里一两句话来体会其中深意并受启发的聪明人来说，我居然不在现场！这真是时空带来的令人无法接受的遗憾。他们中的年长者，旷古烁今地代言了人类对科学的所有想象，而他们中的另外一个，迅速地被大众遗忘。年长者，就是爱因斯坦，而另一个，是哥德尔。但，被大众遗忘未必会被历史遗忘；哥德尔对人类认知和整个人类思想史的影响，直到现在都还在发酵。

哥德尔的工作事实上挑战了，或者推翻了人类从亚里士多德开始追求的绝对理性，让我们意识到人类理性的深层次边界。而相类似的界限，巧得很，也在几乎同一时期的量子力学中被看到。虽然爱因斯坦到死都认为量子力学的不确定性原理是毫无道理的，但他还是跟哥德尔成了莫逆之交，而哥德尔恰恰是以不完备定理成就了他在理性世界甚至是人类认知历史上的地位的。

自然界和自然界的真理埋藏在黑暗中，上帝说让牛顿去吧，于是牛顿带来了现代科学的光明。哥德尔似乎只在人类的文明史上昙花一现，耀眼地从夜空中划过。他的思想影响了冯·诺依曼和图灵，现代计算机从而被创造出来了。极具声望的奥地利经济学家、博弈论的创始人奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）说：“毫无疑问，哥德尔是在世的最伟大的逻辑学家。”1951年2月，哥德尔卧病在床，美国原子弹制造计划——曼哈顿工程的总指挥尤利乌斯·奥本海默（Julius Oppenheimer）告诉主治医生：“你的病人是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家。”在1978年3月3日哥德尔的追悼会上，数学家安德烈·韦伊（Andre Weil）总结说，哥德尔是两千年间唯一一个能不带炫耀地说“亚里士多德和我”的人。物理学家约翰·惠勒说道：“如果你称他为亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，你是在贬低他。”惠勒在他1974年发表的一篇文章中就断言：“即使到公元5000年，若宇宙仍然存在，知识也仍然放射光芒的话，人们将仍然把哥德尔的工作看成一切知识的中心。”哥德尔思想具有潜在的科学和哲学价值，它已经被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落，为数学、逻辑、语言、人工智能、自然科学、思维科学和认识论的研究提供了有益的启示。

爱因斯坦从1942年起直到1955年去世前与哥德尔过从甚密。爱因斯坦自己认为哥德尔的工作对数学，与他的工作对物理学有同等的重要性，“因为我遇到了哥德尔，我知道了数学中确实存在着同样的东西”。爱因斯坦曾经对摩根斯坦说，在他晚年，他自己在普林斯顿高等研究院所从事的工作对他来说已经没有太大的意思，他每天坚持上班的主要动力是路上可以跟哥德尔聊天。在1955年爱因斯坦去世前，普林斯顿的居民会常常看到这两个人一起散步。他们对彼此的吸引力来自对各自学问和宇宙万物的深刻见解。1933年两人第一次相遇时，年轻的哥德尔才刚刚展露他在数学界天才的一面，而爱因斯坦已经54岁，接近他辉煌而富有成效的职业生涯的顶点。

即使今天也不难想象当爱因斯坦出席研讨会时听众的敬畏之情，20世纪30年代初识爱因斯坦的时候，哥德尔也多少有这样的态度。在给母亲的信中，哥德尔兴奋地述说他沉浸在与名人交往的荣耀中。“我到目前为止已经去过爱因斯坦家三次了，”他在1946年写道，“我相信他很少邀请别人到他家。”哥德尔，虽然比爱因斯坦小27岁，但他并没有被爱因斯坦的声誉吓倒。他毫不犹豫地挑战爱因斯坦的想法。这些挑战充满了睿智和理性，这也许是爱因斯坦认为哥德尔是他的忘年交的原因。

哥德尔的不完备定理于1931年发表。就像爱因斯坦在26岁提出相对论那样，这一年，25岁的哥德尔重写了现代科学的基本规则。哥德尔证明，数学是不完备的，并将无法完善。无论理论系统基于什么规模的公设，都有超出命题系统范围的真实陈述，有些数学真理，即使是真的，我们也无法证实。即使将这些不可被已知系统证明的命题添加到该系统中作为进一步的假设也不能解决问题。扩展的系统也不完备，这样的不完备会不断地随着系统的扩展升级。如果爱因斯坦用他的相对论摧毁了我们关于物理世界的日常观念，他的忘年交哥德尔同样给我们的数学世界带来了类似的颠覆性影响。

在长达两千多年的历史里，数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎的方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也一定可以用数学演绎的方法证明其为假。正如法国数学家庞加莱（Jules H. Poincaré）所说：“在数学中，当我们拟定了作为约定的定义和公设以后，一个命题就只能为真或为假。回答这个定理是否为真，不再需要求助于我们那些不确定的直觉，只要求助于逻辑推理即可。

哥德尔不完备定理一举粉碎了数学家们这个长达两千多年的信念。它告诉我们，“真实”与“可证”是两个不同的概念。“可证”

涉及具有可操作性的机械思维过程；而“真实”则涉及一个直觉的、主动的、无穷的思维过程。可证的一定是真实的，但真实的不一定可证的。从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。而很快，图灵把这一结论普遍化到了所有图灵机可解决的问题上，所有可描述算法，图灵机都可以解决，那么所有可描述算法之外的问题，都难以避免哥德尔不完备定理所限定的规则。无怪乎著名数学家外尔（HermannWely）发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是自洽的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种自洽。”

爱因斯坦是物理学的天才，他动摇了物理学的基础，彻底改变了我们理解世界的方式。哥德尔却不为公众所了解，然而，他是数学和逻辑学的天才，他动摇了数学的基础，而数学是哪怕最应用型的科学的逻辑基础。爱因斯坦辉煌一生的最后十几年里，他和哥德尔每天在一起聊天的主题是什么？关于空间和时间的抽象旅行？关于数学基础的基础？关于古典希腊神话？关于政治？关于他们的感情生活？关于其他同事？关于美国人与德国人的不同之处？没有人会确切地知道。基本上，他们只是人类中的两位喜欢交换意见的好朋友。

尽管如此，在人类科学的伟大历史中，爱因斯坦和哥德尔都傲视群雄，所以惺惺相惜，没有什么人可以站在相同高度上跟他们讨论问题。虽然他们的谈话已经永远消失在时空中，但我们依旧可以假想他们在那些漫长的散步中讨论过的话题。

话题一_：量子力学

在以牛顿力学为基础的经典物理中，我们通常可以认为无穷远的事情影响无穷小而把它忽略掉。在做一个关于引力的积分的时候，我们是在从无穷远积分到另外一端的无穷远，但事实上我们心里想的是，无穷远的现象所产生的效果是非常非常小的，即使算进来也没什么差别。这样做给我们的数学处理带来了很多方便。这样的处理手段一样用在了热力学统计中，对于小概率事件，我们通常认为它对整体的影响是微乎其微的，所以当一个事件发生的概率极小的时候，我们通常会把它的影响也忽略掉。但量子力学似乎认为这样不对。这些微小的概率，似乎也不能轻易被忽略，甚至，它们才是说了算的。