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量子力学是物理学中第一个真正涉及无穷的学问。而哥德尔思考不完备问题的落脚点，也从涉及无穷的性质的康托连续统问题（Continuum hypothesis，即有没有比自然数大但比实数小的集合）开始。爱因斯坦在1935年提出了著名的量子力学不完备的新挑战—尽管这之前爱因斯坦每一个挑战都是著名的，这个1935年的挑战在于量子力学有可能存在着违背相对论的超距作用机制。通过纠缠一对粒子，可以让这种纠缠一直跨越相对论所描述的时空限制。即使相差距离非常远，这两个粒子也可以彼此感知，并相互影响，这种影响是即时的，不需要信息传递的时间，或者说信息的传递速度可以大到无穷。这与相对论中“任何相互作用的传播速度的上限是光速”相矛盾。因此，爱因斯坦提出了以他和另外两名合作者命名的EPR悖论。

在爱因斯坦看来，量子力学的一些性质导致了这个理论存在严重的缺陷，它并没有把物理内涵中该讲的事情讲透。量子理论至少应该需要一些合理的补充，才能比较完善。在找到更完整的描述之前，量子力学是不完备的。如下的几个问题，量子力学迄今都还没有一个完善的描述。^[2]

量子坍缩

对量子系统的测量可以导致量子系统的坍缩，由很多态的叠加状态，瞬间坍缩到其中一个态上，比如著名的薛定谔的猫。但是，量子力学本身缺乏合理的工具来说明坍缩过程是怎样发生的，似乎就只是瞬间。而瞬间这个概念，是经典物理学所不能接受的，怎么会有一个无穷快的、不可被观察的过程？

量子跃迁

原子的电子云会有几个轨道，电子吸收光子从而从一个低能态轨道跃迁到高能态轨道的过程是量子力学不可描述的。早期的准经典模型曾经幻想过电子可以有轨道，像行星围绕地球一样运动。然而这个模型很快被证明是不对的，电子从一个地方消失，在另外一个地方出现，是个概率性的事件，没有理论来描述它怎么从一个地方消失又怎么从另外一个地方出现，这个中间过程量子力学是不去或者说不可描述的。

量子随机

爱因斯坦最不喜欢的是量子随机性。“上帝不可能掷骰子！”爱因斯坦说，但波尔（Niels Bohr）立刻反驳说：“别去指挥上帝该怎么做！”一个骰子，我们通过精确测量初始条件，充分掌握各种数据，建立对应的动力学方程，总能足够精确地描述骰子的动力学过程，从而预测骰子抛出以后所有的运动，也就知道了骰子落地后该是哪一面朝上。而量子力学说，量子力学所决定的随机是绝对的随机，没有一个更深层次的理论来告诉我们量子骰子的结果！

量子退相干

相干性是量子系统之所以被看成量子系统的原因。只有波的函数才能描述这些相干现象，就像相同颜色的光波可以相互叠加而形成干涉条纹。但这种干涉却不能被稳定地维持，观测、温度和噪声都可以使干涉条纹消失，我们称这样的过程为退相干。对于量子计算来说退相干是其关键制约因素。理论上量子计算描绘了一个伟大的蓝图，但实验中我们在面对几十个量子计算单元的时候总是举步维艰。实验越来越复杂，而保持量子相干性便越来越困难。量子退相干的机制是什么？是测量吗？是跟环境发生了新的纠缠吗？虽然我们有很多手段来描述这个过程，但其中的机制目前我们并不太清楚。

量子纠缠

爱因斯坦对量子力学的致命一击在于他提出了量子纠缠，这意味着两个纠缠的量子粒子即使相隔无穷远也可以相互影响，这个影响是超光速的！至少在他在世的时候，量子力学的多数研究者都努力回避直接应对他的这个挑战。

量子隐函数理论

这一切都引导爱因斯坦认为量子力学是不完备的。一套理论至少对以这套理论所用词汇提出的问题有确定的答案，并且能够证明这个答案，才是完备的因而有用的理论。然而量子力学对上述几个问题都没有完整的描述。迄今都没有。

所以爱因斯坦致力于寻找一套可以解释量子力学的理论，比如说隐函数理论。冯·诺依曼首先证明了隐函数理论是不存在的，量子力学就是这么任性；其后，继续努力的还有戴维·博姆（DavidBohm），他建立了整套的隐函数理论，但这一切在贝尔不等式被实验证明之后都暂且成了历史。

爱因斯坦心中的这些抱怨，似乎物理学界很少有人再关心，爱因斯坦就只好唠唠叨叨地跟哥德尔说。就量子力学而言，可怜的哥德尔几乎是被爱因斯坦洗脑了的。可以想象，一个天真无辜的数学家每日耳濡目染，在一个当世瞩目的伟大的物理学家孜孜不倦地灌输下，几乎不可能对量子力学建立任何好感。

话题二_：时间和相对论

是什么让童年的我和现在的我是同一个人？人类最早的关于时间的认识大概是因为人会变老。那些关于记忆的碎片拼接在一起构成了我们对时间的感受。但这有时候并不是很准确。当我们睁开眼睛，意识清醒的时候，我们可以根据身边的很多参照物，比如日光的明暗来矫正自己对时间的感受，但在梦境中，这种感受会完全不同。很多测试表明，我们的一些经历非常曲折的梦只产生在大脑活跃的几分钟甚至更短的时间内。

一小时，一旦人类精神的奇怪元素介入，就可能会延伸或缩短到其时钟长度的几倍甚至几十倍。从心理学角度来看，我们如何体验时间的这种弹性？洞中方七日，世上已千年。物理学家老是把这样的说法和相对论的例子结合起来，然而对古人而言，这何尝不是心里的真实感受。快乐的时光总是短暂的，在考虑时间的乐趣和危险时，我们不可避免地会陷入困境。无论我们在直觉上如何认识，时间是一种可变的抽象，一种和直觉相关但不受直觉左右的东西。尽管时间可能仅仅是由人类的自我属性和经验的主观塑造的，但它仍然是现实中可衡量的、可观察的。主观的时间和客观的时间之间存在着具体的裂痕，“时间是什么”依然是最让人迷失但也最迷人的问题。

20世纪现代物理学，尤其是爱因斯坦的相对论将我们对时间的直观概念转变成为客观的一部分。关于时间本质描述的不完备性，也是哥德尔和爱因斯坦所关注的。1948年，哥德尔关注到了爱因斯坦的一项伟大工作——广义相对论，并成功地从其符号的简化中得出一个新的宇宙模型（参见彩插第一页）。他通过提供广义相对论的理论核心——引力场方程的精确解来实现这一目标。这个解延续了他所有工作的特征：严谨、逻辑连贯、具有完整而令人信服的高超品位。哥德尔对引力方程的解证明了爱因斯坦理论最深刻的见解，即时间是相对的，并且时间穿越是有可能实现的。

爱因斯坦的相对论只表明传统感官意义上的时间不存在，而不是时间在任何意义上都不存在。爱因斯坦本人对时间的主张更为微妙，他认为时间的改变是一种幻觉，事物没有因为时间的推进而成为某种新东西，它也永远不会成为某种新东西，它只是存在。因此，时间就像空间，它跟空间是一致的。去香港旅游时，并没有创造一个香港。

到达香港之前这座城市一直都在那里，城市并不因为旅行者的身体迁移被创造出来。同样，对于时间，人也会通过取代自己的当下来达到未来。这些事件本来就在那，不过是时间走到了而呈现在我们面前。在爱因斯坦看来，未来的事件像空间中的物体一样真实。我们顺着时间轴走到了就看见了它们。

大众文化让相对论在一定程度上被曲解了。在爱因斯坦的解释中，相对论提供了一种现实主义的时间描述，它与我们头脑中产生的主观时间截然不同。在爱因斯坦的假设中距离的定义更加广泛，它变成了空间和时间同时参与的一种度量。相对论中对时间的主观体验，似乎缺乏必要的描述，毕竟时间不可阻挡地流动构成了我们的记忆，照亮我们的昨天、此刻和未来。爱因斯坦本人在向他的老朋友、物理学家米歇尔·贝索（Michele Besso）致哀悼词时，以精确的方式表达了这一观点：“在离开这个陌生的世界时，他再一次站在我之前。这并不意味着什么。对于我们物理学家来说，过去、现在和未来之间的区别只是一种幻觉，尽管是一种持久的幻觉。”在爱因斯坦看来，就人的主观时间感受，我们是可以区分过去、现在和将来的。这种对时间的主观感受依赖于我们的内心世界，甚至是感情变化。客观的时间，因为它是相对论的特征，不能支持过去与现在和未来之间的区别。归根结底，这些关于时间的幻想是我们所收集的记忆中的故事所导致的直接结果，它们传达了我们称为历史的故事。从这个意义上说，它们不是绝对的，而是相对的，是我们制造的时间信念的基准线。

然而，爱因斯坦的相对论实际上反驳了而不是证实了人对时间的主观体验：爱因斯坦的物理学反映了时间的本质应该更简单。在爱因斯坦的时空观里，没有时间的流逝，没有从固定的过去到不确定的未来的单向流动。物理时空的时间成分与其空间成分一样。在四维时空中时间被布置和传播，时间不再是外部世界的一种属性，它至少不是普遍的“外在的世界”，而是客观世界定向运动的指南针。

话题三_：关于理性主义真理

我的研究生第一次见我的时候，真诚地跟我说学物理是为了追求真理。我问他什么是真理，他说，真理就像数学一样，有完美的确定性。在数学中，一切都是对或错，是真或假，如果你已经确定真假，你也总能找出一个证明来证明你的判断。这让我想起来20世纪初人们对数学的态度。但请考虑一下：

这句话是假的。

这是真是假？如果这是真的，那么它是假的，所以它是假的。但如果它是假的，那么它是假的，这是错误的，所以这是真的！

英国哲学家和数学家罗素在这种困境中挣扎。他看到，“这句话是假的”的问题是它该声明正在谈论“自己”。如果一个句子可以避免谈论“自己”，那么就可以避免这种有问题的数学挫折，即我们所说的悖论。至少罗素希望如此。他花了十多年的时间试图一砖一瓦地重建数学基础，建立一个不依赖任何直觉的数学体系，这样就没有任何砖块是不确定的了。他撰写了庞大的三卷论述《数学原理》（Principia Mathematica，下文谈到这本书时，也会用PM代替）。他非常小心地避免悖论，甚至不认为算术是理所当然的。直到第二卷他才开始证明1+1=2。在他完成了《数学原理》之后，罗素写道，他的大脑工作机制与以前完全不同，写这本书让他的大脑受到了严重的创伤。

1931年，25岁的哥德尔表明，罗素做的事情完全是在浪费时间。

哥德尔不完备定理告诉我们，即使我们可以通过发现新证据来弥补真理体系的不完备，但这些新证据一样会导致另外的不完备。无论你如何仔细地建造自己的“数学之家”，都必须留下一块不属于你的砖头；你的房子必须永远不完整；即使在算术中，我们也必须永远保持无知。

话说回来，一个有缺陷的真理体系，不能称之为真理体系。但哥德尔是怎么做到这一点的？

与“这句话是假的”一样，哥德尔创造了一个谈论自己的数学陈述。英语可以谈论自己，但数学可以吗？设想一下，通过将英语编码为数学。假设你为字母表中的字母分配数字：1表示A，2表示B，3表示C。然后你可以称呼某人不用他的名字而用一串数字，学校的学号就是这样的。数学证明也可以不使用字母表中的字母，而使用+、≠和∞之类的约定好的符号。我们也可以对它们进行编码，然后将1+1= 2等数学语句描述为一个代码序列，一串代码。哥德尔所做的是创造了一个数学陈述，上面写着“代码为42的陈述无法证实”。但是，他的智慧在于，他这样做的方式是，代码为42的陈述就是“代码为42的陈述无法证实”。简而言之，它老老实实地在说，“这句话无法被证实”。因此，如果这句话可以被证明，那将是错误的。但如果无法被证明，那就是真的。所以，与我们所接受的知识相反，数学中也有某些陈述无法被证明是对还是错：事实上是正确的——但你无法证明这一点！

这是哥德尔的第一个不完备定理：在至少可以描述算术运算的自洽形式系统中，一定存在既不能被证实也不能被证伪的命题。

同样，哥德尔第二个不完备定理表述为：这样一个形式系统无法证明系统本身是自洽的。

哥德尔证明，一个被认为是真实的公设永远不会在其自身系统中得到证实或完善。在任何给定的系统中，至少有一个公设必须是假的或未经证实的。第二定理说，无论你的推理多么完美，你永远不能排除某个人在某个地方或者某个时间，可能会使用你的数学系统来证明“1=0”的可能性，理论自洽性不能在自身系统内被证明。

哥德尔不完备定理接下来彻底改变了数学，并激发了冯·诺依曼（John Vonn eumann）和图灵的灵感，让他们研制出了第一代电子计算机，用来帮助同盟国战胜纳粹。哥德尔的不完备定理向我们证明了人类的思维具有一些无法被计算机模仿的特殊性质：我们人类明明可以看到有些陈述是真的，但机器却不能。英国物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）甚至说哥德尔的定理可以帮助我们发现一种新的物理学，它将解释意识本身的奥秘。而哥德尔显然也影响了爱因斯坦对量子力学的思考，老先生晚年的挑战就是孜孜不倦地攻击量子力学的不完备性。

哥德尔自己倒觉得他最适合与莱布尼茨为伍，是典型的柏拉图理性主义信仰者。经典意义上的“理性主义”被定义为知识可以从默认真理与推导中得到，而与人的感觉、体会等因素无关。理性主义受到自然科学进步的影响，试图将数学的方法论应用于广泛的哲学研究中，从而使历来众说纷纭、各执一词的哲学获得如科学一样的精确性，这样做甚至可以消弭存在了几千年的物质与意识孰为第一性的争论。理性主义试图制定真理系统的理性原则，从中可以演绎出关于外在对象的可靠的知识；它强调理性的认知能力，这种能力既是先验的，又是本质的。理性主义者相信哲学是独立于超自然启示的逻辑；他们认为感性经验作为获得知识的途径毫无价值可言，唯有理性能够使哲学变得像自然科学一样精确。

爱因斯坦和哥德尔是柏拉图理性主义的坚定信仰者，这应该是两个无话不谈的莫逆之交的信仰基础。虽然，他们的工作都意味着经典的理性主义存在着重大问题，他们甚至扮演了经典理性主义的掘墓人的角色，但他们并不相信自己是这样的，甚至没有意识到这一点。

1951年，在爱因斯坦亲自授予哥德尔第一届爱因斯坦勋章时，冯·诺依曼说：“哥德尔在现代逻辑方面的成就是无与伦比的、不朽的——确实，它们不只是一座纪念碑，而且是一座其意义由于受时间、空间的限制还未显现的里程碑。

图4–1 爱因斯坦亲自授予哥德尔第一届爱因斯坦勋章

哥德尔的一生

哥德尔是一位杰出的数学家和哲学家，他的不完备定理使他成为他那个时代最重要的数学家之一。哥德尔1906年出生于奥匈帝国的Brünn，现在是捷克的布尔诺。哥德尔6岁患过风湿热，他认为自己从未完全康复过。他成人以后性格偏执，容易焦虑，有时候会莫名其妙地沮丧，一生中经历了几次严重的神经衰弱，并因此住进医院。18岁时，他开始在维也纳大学攻读理论物理、数学和哲学。20世纪20年代的维也纳是一个蓬勃发展的新思想圣地。哥德尔被一群著名的思想家包围着，这些思想家组成了维也纳学派。在维也纳学派的一位领导人汉斯·哈恩（Hans Hahn）的指导下，哥德尔在23岁时完成了他的博士论文。尽管哥德尔在维也纳学派中表现出色，但他从未觉得自己适应维也纳圈子，部分原因是他的有神论信仰与维也纳学派实证主义的流行观念相冲突。实证主义者认为唯一真正的知识是可以凭经验证明的。除了为上帝的存在寻找“证据”之外，哥德尔，这个来自希特勒统治下的奥地利难民甚至发现了一种方式，能够使美国人在遵守美国宪法的前提下，依然有可能让自己的国家从民主制度沦为法西斯式的独裁统治。“你知道，哥德尔真的疯了，”爱因斯坦告诉他的一位朋友，“他投票给艾森豪威尔！”

不完备定理的证明使哥德尔迅速闻名于世。1933年开始他在世界各地进行数学讲座，这一年他在美国第一次见到了爱因斯坦。两人从此建立了亲密的友谊，一直持续到1955年爱因斯坦去世。然而，旅行也让哥德尔的心理状况变得越来越不稳定。1938年，当纳粹德国吞并奥地利时，他患上了严重的抑郁症，几乎没有回到奥地利讲课。由于无法获得维也纳大学的教职并有可能应征入伍，哥德尔与他的女友阿黛尔·林伯斯基（Adelen imbursky），一名舞蹈艺术工作者结婚，并一同前往美国。爱因斯坦热忱地把他推荐给普林斯顿大学，在那里哥德尔开始在高等研究院任教。