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整个20世纪40年代，哥德尔在普林斯顿定居并继续发展他的数学理论。他于1947年成为美国公民，最终在1953年成为一名正教授。20世纪50年代开始哥德尔将注意力从数学转向哲学，发表了几篇关于柏拉图主义和它对数学系统信念影响的论文。虽然他的哲学观点从未像他的数学定理那样被广泛接受，但哥德尔仍然是一位备受尊敬的数学教授。尽管他的职业生涯很成功，但哥德尔的心理健康似乎一直是个问题。在他生命的最后几年，他的偏执情绪继续增长。他怀疑有人试图在他的食物里投毒来害他，这是否跟图灵的死有关就不得而知了。总之，他吃的任何东西都要他妻子阿黛尔先试吃，否则他宁可饿着肚子。当阿黛尔在1977年生病并且不得不住院6个月时，哥德尔就拒绝吃任何东西。实际上他把自己饿死了。他于1978年1月14日因营养不良在普林斯顿去世，死的时候体重只有三十多公斤。

[1] 参见《量子大唠嗑》中的“捣蛋鬼哥德尔”。

[2] 更加详细的内容请参见《量子大唠嗑》。

第五章哥德尔不完备定理

每个人都会有这样那样神奇的想法，真正的困难在于怎样把把握这些想法来证明它们是有效的或者有用的。哥德尔的神奇在于他从一个两千年前人们就知道的悖论出发，用理性工具本身证明了理性工具的不理性。这太精彩了。中文的书籍里面我又找不到特别好的叙述，于是我忍不住在这一章介绍了两三种证明它的方法，权且表达对人类智慧的敬意。

众所周知，数学朝着更为精确方向的发展，导致大部分数学分支的形式化工作已经完成。人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理，因此人们可能猜测这些公设和推理规则足以使形式系统能够对可以表达出来的任何数学问题进行判定。我将证明情况并非如此。

——哥德尔

哥德尔不完备定理指出，若形式系统是自洽的，则此系统必定是不完备的。也就是说在这个系统中一定会存在至少一个有意义的命题，既不能用系统中的公设和推理规则加以证实，又不能用系统中的公设和推理规则加以证伪，即成为不可判定的命题。哥德尔第二不完备定理则说，上述形式系统本身的自洽性在这个体系内部也是不可判定的。

理性的知识系统

形式系统：一个完整的符合逻辑规则的理论系统包括一系列无须证明的公设和依照同样无须证明的推演规则得出来的命题。这些公设、推演和命题构成了本书所说的形式系统（关于形式系统的定义在前面已经讲过了，为了加深印象混个脸熟，这里再讲一遍）。接下来，当我们用到“证明”这个词的时候，我们指的是证实，即被证为“真”。

自洽：一个形式系统中自身不能有矛盾。我们给出一个陈述，这个陈述能够被推导而证明是“真”，它的反面，虽然也是个有效陈述，不能也被证明是真的。这里我们回避用“对的”“正确的”等似乎等效的词，我知道这样会让行文略显呆板枯燥，但为了准确，这点无聊在这里是值得的。以下，我们仅用“真”这个字来代表这些概念。而对应于“假”，同样也不用“错的”“不对的”等似乎等效的词。

完备：完备性在于对于一个可做有效推演的形式系统总能对一个陈述给出符合推演规则的判断：或证实、或证伪。这跟我们的经验是一致的。我们在学校里学习的数学，从算式题到证明题，都是把一个命题要么计算出来结果，要么证明它是真的。我们可以轻易地写出一个算式的结果，因为我们知道证明这一结果是轻而易举的平常事。例如1+1=2，根据自然数的公设，我们是可以证明它的。我们能直接写出计算结果只是我们对这一证明规则非常熟悉。这里1+1=2就是一个命题，证明这个命题我们认为是不费吹灰之力的，而且大多数人相信这个证明简单到根本不需要多说，不证自明。

三角形的内角和是180°。这个命题在欧几里得几何中是真的，是可以从几何的基本公设中推演出来的，因此是一个定理。这是我们学习和建立一个知识体系的基本诉求，我们总希望用这个知识体系所规定的基本公设中给出的词汇，组织成一个新的陈述，这个陈述在这个学科体系中是可以通过公设来证明的。而这些公设应该越少越好，但至少要丰富到它能够覆盖我们想知道的内容，我们可以用这套公设系统来表达知识体系内的概念和命题。

一个公设系统下任意的陈述可以通过逻辑推演被证明，或者它的反命题可以被证明，我们就说这个系统是完备的。完备性满足了知识系统有用性的要求，而自洽性强调了知识系统的有效性。值得注意的是，这里讨论到完备性，我们并没有要求命题是符合实际的真的，它只要能够按照逻辑规则并可以从基础假设中被推导出来就好。当我们深入了解哥德尔不完备定理的时候，我们就知道“真实”和“可证”之间是有根本差别的。

终极理性的梦想

为什么逻辑演算能得到正确的命题？答案其实很简单。为了探索世界，我们需要判断命题的真假。因此我们构造了一套工具来满足我们对探求正确结果的需求，它可以保证我们从真命题必然推出真命题，我们称这一套工具为逻辑体系。正是因为我们希望逻辑体系是可靠的，所以我们才去定义了这个可靠的逻辑体系。这看起来像是狡辩，因为要让它有用所以设计了一个有用的工具，所以它有用。然而就有类似的人择宇宙学原理，为什么我们这个宇宙中的物理规律是这样的？因为只有这样的宇宙才能产生问这个问题的人。

自古希腊时期开始，数学这一知识形式就得到哲学家的尊崇。欧几里得的几何原理、毕达哥拉斯的勾股定理，无不是从当时的数学家和哲学家所认为的真实世界中被观察到的。但真实的世界为什么会展现出数学之美，历史上常常有人将其归因于宗教意义上的必然：上帝创造了这样的规则。17世纪的思想家们则将这一尊崇推到极致。且不说这些人个个都是顶呱呱的数学研究者，代表性的思想还在于，他们把数学归入了上帝法则之列。如此，通过建立古希腊时代之后的新数学，他们就可以自动跻身为上帝派来的解密者。对于欧几里得的学说，牛顿和他的追随者们既做了良好的继承，又发展出了更为复杂全面的体系，直接将数学内化为物理世界的建筑工具。通过引进参考系，伽利略（Galileo Galilei）推翻了亚里士多德的运动观念；开普勒从精美却错得不能再错的本环行星轨道和地心模型开始，通过第谷的观测数据推出行星运行三大定律；笛卡儿几乎神奇地统一了丢番图（Diophantus）的代数和欧几里得的平面几何学；芝诺（Zeno）那个关于无限的悖论通过牛顿和莱布尼茨发明的微积分成为可运算的实在规则。这时万有引力定律的推导水到渠成，它被成功地用于解释天体运行，接下来的两百年里都很好用。这些创举孕育了18世纪到20世纪初的自然科学。

从17世纪开始一直到1930年，整个数学界是非常乐观的：数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上的。康托的连续统假设，即判定有理数的无穷多和无理数的无穷多之间是否有介于这两者之间的无穷多，这个时候仍然是悬案。不过大数学家希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，数学学科的前景是光明的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，即形式系统的推演上。谓词演算的公设系统已经被证明是自洽的，尽管其完备性仍有待证明；整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论，它们都已经形式化。这些理论系统应该是自洽的、完备的。如果这一点能够得证，则集合论公理系统也能得到同样的结果，那么整个数学就牢靠了。

但细心的人对数学的客观性表示怀疑。似乎作为逻辑的高阶形式，数学依赖于公设，而公设的变化会带来不同的描述方式，我们面对的自然界并不依赖于我们采用哪一种描述方式，似乎每一种都可以，只是哪一种比较方便而简洁。

同构映射也是这个时代数学的重要进展。人们发现一个数学范畴内对象之间的关系，可以被证明在另外一个范畴的对象之间也成立。以乔治·布尔（George Boole）为代表的19世纪的数学家成功地使代数“算术化”了，并证明数学分析中的各种概念均可用数论术语（依据整数及其运算）来唯一定义。事实上这也不是遥不可及的，我们可以把 这样的虚数定义为整数的有序对（0，1），并对它实施某种加法和乘法运算并且定义一些操作规则，它就可以完整地表达虚数的所有性质。我们也可以把 定义为一个有理数的类，例如所有平方小于2的有理数组成的类。利用映射的同构原理，我们可以把几何用代数来描述，用无理数和有理数来代替代数，再归纳到自然数，数学的不同领域可以通过同构来对应，而只要证明了其中任何一个系统的完备和自洽，其他系统也自然而然地被证明了。而自然数又可以通过对集合的论述来定义。因此，集合本身的性质成了整个数学界的

基石。

举例来说，与用代数公式表示空间中曲线和曲面之间错综复杂的几何关系，要比直接处理这些关系更容易一样，处理复杂逻辑关系的算术对应，要比直接对付这些逻辑关系要容易些。由此，可以去构架一套描述这套关系的数学体系，它独立于任何具体的数学内容，它是用来描述数学的数学，称之为元数学。我们会看到，哥德尔也利用了这个方式，把逻辑推演变成合理的算术问题，用算术形式来演算关于算术的元数学问题。在这个基础上，如果关于算术形式系统的复杂的元数学命题能够被翻译成在这个系统内的算术命题的话，将大大有助于元数学本身自洽性和完备性的证明。

映射是个不难理解的事情，建立事物和事物之间某种对应关系，作为一种方法被我们在各种场合不严谨但广泛地应用着。语言是我们对自然界和自己思维的映射。我们用“猫”这个字代替了自然界中对应的动物，对于它的陈述让我们理解猫在自然界的状态，而不是把猫抓来做演示。我们同样设计了棋类游戏，比方说象棋，被用来推演军事战争，或纯粹是游戏，但“帅”“士”“兵”被用来标记不同棋子的重要性，这些重要性也同样可以用1、2、3等数字来标记。但严格意义上的映射却不那么容易获得。当我们用映射的方式来证明某类问题的时候，要严格地证明映射的对应关系，而不是凭着名词词义的类似就借用过来作为证明的依据，这往往构成论证的错误。比如我们谈“上善若水”时，并没有论证“善”和“水”的映射关系，仅凭某类特点的相似，是推不出其他延伸的结论的。我们往往混淆了修辞和论证的关系，这个例子里的比喻论证不是论证，只是一种修辞手法而已。而我劝读者能少用就少用，尤其在一些相对严格的文体中，比喻的使用会带来大量的不经意的逻辑混乱。同构映射在19世纪取得了重大进展，很多不同分支的数学领域都被证明是可以同构映射的。这样在一个数学分支中找到的规律，在与它同构的数学分支中就存在同样的规律。数学家常常只是选择证明起来会更方便的那个分支而已。

理性的典范_：算术

数学可以还原为算术，而算术可归结为皮亚诺系统的几条公设。我们重复一下前面介绍过的皮亚诺算术系统的几条公设：

公设1 1是自然数；

公设2 对于任意自然数n，其后继数 $m ^ { \prime }$ 都是自然数；

公设3 对于任意自然数n， $n ^ { \prime }$ ≠1都成立；

公设4 对于任意自然数m，n，若 $m ^ { \prime } = n ^ { \prime }$ ，则 $m = n$ ；

公设5 假设对自然数n的谓词 P（n）而言，下面的（a）和（b）都成立。

（a）P（1）成立；

（b）对于任意自然数k，P（k）成立，则P（k'）成立；
则，对于任意自然数n，P（n）都成立。

在这基础上，我们可以将自然数集合扩充成整数、有理数、实数，可以定义加、减、乘、除、幂指、对数运算等。比如：

加法的定义：（1） $m + 0 = m ;$ （2） $m + n ^ { 3 } = { \mathit { \Omega } } ( m + n ) { \mathit { \Omega } } ^ { 3 }$ ；

乘法的定义：（1）m×0=0；（2） $m \times n ^ { \prime } = m \times n + m \circ$

重申了自然数的定义之后，我们尝试用集合构造算术：这里用符号∪表示并集，原来的集合加上一个新的集合。如果读者不记得什么是集合，我们稍稍多说两句。集合，是对象的总称。比如自然数的集合{0，1，2，3……}，不同的版本中会规定0是不是自然数，我们不管它，这里把0作为自然数。一个学校所有年级的集合{一年级、二年级……}，等等，这些构成了集合的基础。我们甚至可以从集合里来定义自然数。

空集是没有任何元素的集合，即{ }，又记作∅。

我们在集合上也定义后继运算： $\mathrm { { n } ~ \cup ~ \{ n \} }$

用集合定义自然数：

将<定义为：m<n为m∈n，即m是n的子集。所以，0 < 1 <2 < 3<……

在集合论中有这样一条公设：所有的自然数形成一个集合。

在集合论中可以证明，这样定义的自然数满足皮亚诺的五条公设。既然数学可以还原为算术，算术可以还原为集合，那么我们说数学可以还原为集合。

上面用集合定义自然数，相当于是给不同的集合取名字。空集∅的名字是0，空集的集合{∅}的名字是1。并不是说1和{∅}两者真的相等，否则会产生问题，1={0}怎么会成立呢？左边是一个数而右边是一个集合？

集合构造算术的关键在于，这样构造出来的集合，刚好满足皮亚诺公设。所以我们研究集合，就可以弄清算术的性质。这种构造方法并不是唯一的，只要它们满足皮亚诺公设就行。弗雷格（FriedrichL.G. Frege）把逻辑形式化为集合论的一部分，在集合论对数学的大统一上做出了卓越的贡献。事实上我们看到一种希望——通过集合来统一数学的理论体系。

就在弗雷格要把他关于集合论的恢宏巨著付印的前一天，他收到了来自英国的数学家罗素的一封信。罗素一直关注着弗雷格的研究。但这封信充满了历史的黑色幽默，如果对一个数学家来说还能笑得出来的话。这封信里，罗素提出集合的一个悖论，它使弗雷格利用集合论建立起来的算术、代数、几何等数学大厦的根基发生动摇。用弗雷格的话说：“突然数学大厦的基石崩塌了。”他发现，自己忙了很久得出的一系列结果被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的根本依据崩溃了。”

罗素在给弗雷格的信里写道：