人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

那么能不能证明一个更普遍的不完备定理？把哥德尔不完备定理推广到所有通常的事物里？对此，哥德尔曾经做出一个他认为合理的表述：一个完美规划的社会（即处处按完美的法则行事的社会），就其行为而言或者是不自洽的，或者是不完备的。即这个社会一定有一些问题是无解的，这些问题有可能极其重要，甚至会危及整个社会。这个说法也适用于个体的人，事事讲究原则的人一定有无法讲原则之处。

真理不能被语言描述

维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）研究语言得出结论：语言不能把握世界上存在的全部东西。“只可意会，不可言传”，哥德尔的工作给出了这句话的数学形式。从本质上说，哥德尔所证明的是，无论任何语言，即使是数学语言，都不足以彻底、完全地表达日常的“真”的概念。用语言学的术语说，就是语法无论多么丰富都不能完全取代语义。即使在纯数学这样内容简洁的领域，形式逻辑的操作也永远不能告诉我们数学的每一个特性。而我们必须记住算术是关于数本身的，而不仅仅是关于算术规则的。

用语言来完成人类彼此间的沟通，除了需要共同的认知基础，也不能脱离人对外部世界的感知。这些感知包括视觉对外部的成像，听觉对声音的辨识，以及人对历史和环境的认识。否则语言就会被无穷诠释，变成无限矫情的胡搅蛮缠的文字游戏。但要注意的是，这种胡搅蛮缠是逻辑上允许的，并不是我们所说的无理取闹，它事实上就是一个可以无限延伸下去的合法讨论。

一个办法是把人类的自然语言抽象为“信息”，这时我们稍微严肃认真地讨论一下“信息”这个概念，这要从香农（Claude

Shannon）的信息论开始。人们利用有限数据来传达信息，首先追求的不是高效的传输，而是这些数据对所传输信息的可靠表达。

1948年贝尔实验室的香农提出信息论来刻画信息通信过程中的数学模型。在信息传递的基本过程中，甲首先把信息以特定的规则编码，这在物理设备上比较容易实施；针对有很多噪声的信息通道，可以加些冗余编码来降低传输过程中产生的错误；收到代码序列之后乙再通过特定规则来解码，这样乙就得到了这条消息。

在这个通信过程之中有两个基本的假设：

假设1 双方共享一个编解码的规则，即共同的密码本。

假设2 双方有共享或公有的常识。

香农的通信理论关心密码本的建立，首先要回答这几个问题：

1.甲要想一下：乙是否与甲有一个共同的认知模型？否则，即使完成了解码，乙也有可能因为不能领会里面的内容而产生误解。那么发信息的时候，甲的措辞要尽量减少可能的误解。

2.甲还应该要想一下：为什么要发这个信息？乙是不是已经知道了？乙是否关注这个信息？乙爱不爱听？听后有什么反应？这一句话说出去有什么后果？

3.乙要想一下：我为什么要收这个信息？甲发给我是什么意图？

我们脑海中有关于某个事情的概念，我们便可以毫不费力地思考它，通过直觉来判断它的对错，至少是对我们自己大脑内部的对错，但我们可能不能简单地在大脑里通过逻辑推理和语言来描述它。近代由于牛顿力学的发展让人产生了一种经典意义上的关于思维和语言关系的观点：人类通过语言来思考，但我们现在知道这样的观点混淆了语言和语义之间的差别。我们大脑可以把握语义，但当我们要用语言的规则把它表述出来的时候，事实上，我们不得不承认我们忽略了很多概念，很多思维的细节，或者本来延伸着的语义的内容。但我们也不担心这一点，我们自然而然地、天真地认为我们的听众能够理解我们的言下之意，而事实上他们也真的可以做到这一点。这真是一个神奇的过程。

英国人喜欢茶歇，喝茶的时候可以海阔天空地聊天。我即使到现在也不能完全融入他们所有的闲聊中。语言的交错中，我可以完全置身事外。不过问题是一样的，当我们几个中国人在一起说到“林黛玉”时，对我们而言，那是一个非常丰富的文化符号，我们都明白她的身世、情感、性格和价值观，这就轮到其他很多不同文化背景的人置身事外了。

我们的大脑里有了这样一个概念：林妹妹。我们通过语言的编码机制，喉舌和口腔，来振动空气，把我们希望表达的信息编码成一个有振幅和频率振动的序列。这个振动的序列，可以通过空气，也可以通过电波，传到接收的一端。通过耳朵里的鼓膜，再转化为听骨的振动，这些振动牵动了对应的肌肉和连接着的神经，通过某种神奇的翻译机制，转化为我们所理解的那个“林妹妹”。这个神奇的翻译机制，也许不仅仅是大数据，而是某种尚未完全认知的模式组织起来的公有知识或者数据库，即我们所说的共识。同样的一个振动和频率的序列，在一个不懂中文，或者只能勉强用基本中文交流的人那里，就不会产生共鸣。这似乎和这个人所掌握的知识，至少是语言方面的知识相关，但我们一样有一种神奇的检索信息的截断能力，知道这些知识应该在哪里被终止引申，到哪里就已经足够了。这似乎又可以与下一章将要谈到的图灵不停机问题对照起来，在某种意义上，“我们”可以通过“直觉”适可而止地知道哪里是我们在逻辑之外的满足，而逻辑本身并不能提供这种满足，人可以知道怎样获得沟通意义上的满足。但它也不总灵，否则的话就不会有误解存在。这些感受是在认知层面的，是在编码之外的。因此，通信理论就只管发送，就像以前电报大楼的发报员，收钱发报，他们丝毫不需要在乎发报的动机、内容和后果。

相比照，动物之间也一样有丰富的交流的方式，除了发声，它们很多还借助于肢体和触角的动作。人的对话也不一定通过说话，手语、眼神和肢体同样可以传递很多信息。在有声语言产生之前，人类就已经有了十分丰富的认知基础。没有这样的认知基础，语言是空洞的符号，沟通交流和唠嗑也不能发生。

人们因此有一种沟通上的困境：到底要多少数据才能准确地表达我们真实的想法而不产生歧义？怎么说话才不会引起误解？到现在，读者应该可以理解，一个没有歧义的语言系统可能是不存在的。但我们人类有办法来弥补这一点，我们总会在效率和可靠性之间进行平衡。语言的冗余部分看似是废话，但它们的存在降低了误会的发生，提高了沟通的容错能力。如果一句话说不清楚，没事，我们可以多说两句。

我在北大前后待了十一年。初入清华，跟同事约见面，“下午2点东门见！”于是到了下午2点，我沿着清华东墙从最南边走到最北边，都没看到东门！幸亏有手机这一现代工具，我终于跟同事见上面，他说：“清华东门，在南边，南边墙上靠东的那个门，对着主楼。”，我回道：“我们北大的逻辑不是这样的啊！南门一定在南墙上啊！”这就是不同的生活习惯造成对同样的名词含义理解的不一致。再者，下午2点，是北京时间还是格林尼治时间？约定的时候我们并没有说明。而事实上我们说的北京时间其实也不是北京的时间，北京时间是陕西天文台发布的陕西省西安市临潼区国家授时中心当地经度的时间。下午2点是14:00还是14:00:00？二者在物理上是有严格的区别的，而这很大程度上依赖我们所用的交通工具，如果走路的话14:00差几分钟并不是个大问题。但如果开车，校门口是不让停车的，所以在车流中你被后面的车押送着，经过东门是不允许有分钟级的误差的，所以要14:00:00。这样的补充信息可以一直延伸下去。当我们每延伸一个新的解释的时候，它还是会牵涉进来更多的解释。人却有一种神奇的能力，能够不在这些定义被穷尽之前就达到沟通的目的。而哥德尔告诉我们，这些定义是无法被穷尽的。人类能够沟通，是个奇迹。

有一天晚上跟朋友聊起来哥德尔不完备定理。朋友指着路边的一辆车说：“这是一辆车。这也会有歧义吗？”如果需要准确理解这句话，给出完整的描述，我们不得不描述环境。我们俩都在路边站着，手指着同一辆车。说话的两人大脑有众多的不可一一列举的共识。首先我们沟通的环境不是在两个不同的地方，也不是指一幅画上的车，也不是一个玩具车。记得那个著名的“人无法踏入同一条河流”的说法吗？比如说我们指一幅画，画里有树、有车也有房子，这句话中的“这”未必是我们头脑中想说的那辆车。所以环境本身需要描述，即我们说到“这是辆车”这几个字的时候，应该有描述说两个人在同一地方。这种共识能不能被大数据描述，是一个有意思的问题。哥德尔不完备定理可能导致我们不能够完全描述我们的共识。为了弥补一个概念的不足，我们不得不引入新的概念。很快又要去弥补这个新概念的不足，哥德尔第二不完备定理告诉我们，对概念的详尽解释是做不完的。不是我们在做刨根问底的无聊事，而是这样无聊的事情确实存在而且逻辑正确。大脑逻辑上不通却能够神奇地采用忽略多余信息的方式让我们对别人说的话进行正常理解，适当的停机而不会陷入刨根问底的“宕机”状态。

真理不能够自证其真

哥德尔证明揭示了我们传统意义上的逻辑证明方法可能存在深刻的问题，因此也质疑了我们奉若神明的理性。

数学里我们会用到反证法。它的前提是如果我们能够证明一个命题的反面是矛盾的，那么这个命题就应该是成立的。

例如：用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角？

假设三角形中存在至少两个角是直角，设∠A和∠B为直角，则三角形三角之和为：

$$
S = \angle A + \angle B + \angle C = 9 0 ^ { \circ } + 9 0 ^ { \circ } + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } + \angle C ,
$$

因∠C≠0，故180°+∠C＞180°，

而三角形内角和为180°，故三角形中不能有两个角是直角。

数学上一样大量使用了反证法，假设一个命题正确，那么推出来一个跟已知定理矛盾的结论，这样我们就知道假设是错误的，这个命题不正确。但如果命题本身不能被证明正确或错误呢？而这种判定如果不那么直接呢？比如我们试图证明：

不存在对这句话的证明。

我们首先假设存在一个证明，可以证明这句话是对的；那么不存在对这句话的证明，这与我们的假设相矛盾。

如果不存在对这句话的证明，就是对这句话的证明，但它“不存在”。

既然至少存在这样一个命题，我们无法证明不存在类似的命题，“理发师悖论”就是另一个。理性逻辑的严谨在于，一个证据就足以推翻整个理论大厦。这类陈述让我们很担心反证法的可靠性。因为真的存在一类命题不是非此即彼的，它的正面命题和反面命题可能都无法证明其对错。

看来反证法不可靠，那么我们通常的正面证明的方式呢？

正面证明通常采用归纳法和演绎法。归纳法里只有自然归纳法是严格意义上的证明，而其他归纳法因为不能列出和验证所有的可能，所以不能构成严格的证明。

对于一般性公式的证明所用的自然归纳法，我们必须首先证明公式在n=0的情况下成立。接下来我们假设它对任意的但又是确定的正整数n成立。最终，我们使用此假设以演绎方法逻辑推导出它对于n+1成立。因此，我们证明了，如果它对n=0成立，那么它对于n=1成立。如果它对n=2成立，那么它对n=3也成立，如此等等。事实上，这个基本算术公式的所有证明都以这种或那种方式使用了归纳论证。这种数学归纳论证尽管不是形式逻辑的推理工具，但广泛应用在数学论证中，它可以使我们从有穷的条件集（“n=0”和“n=任意但确定的数”这两个条件），推导出适用于无穷个情况（所有可能的正整数）的结果。自然归纳法也需要假设：规律在无穷大的时候依然有效。我们已经有了不少证据说明这个假设是有问题的，比如我们将要讲到的希尔伯特的旅馆。当真要考虑无限的时候，有限小的规律与无限大的规律未必一致，比如求和1+1–1+1……，它的结果到底是0还是1呢？当这个序列有限长的时候，它或者是0或者是1是确定的，但当这个序列无限长呢？

对于演绎来说，我们为了谨慎小心，证明陈述判断词的两端是严格等价的。三角形内角和为180°，其中三角形的内角和跟180°本身是同一事物，这无法避免地成为自指。而我们刚刚知道了逻辑证明中自指是可怕的，它会带来悖论！

“这句话是错的”，问题在于句子自己指向了自己。但演绎法正是这样啊！而我们其实无法以一个稳定可靠而又普遍的办法来区分什么样的自指是可以的，什么样的是不可以的。

因此，作为真理的代表，数学的证明逻辑，似乎也出了大问题。

自洽系统不能自证其自洽

无矛盾的系统不能自证其无矛盾。数学中最简单、最基础的领域，是以自然数构成的算术，它是雄伟的数学体系的基石。然而从数学本身所依赖的形式化公理系统的角度来看它竟然是不完备的，更糟糕的是，这样的系统不可能通过不断增补而变得完备。

事实上，计算机只能以程序设计师所输入的公设为基础来证明定理——正如哥德尔所强调，它无法自行创造新的公设（假设）。从这里可以推出，任何计算机或者计算机系统，联在互联网里的计算机，比如说无限台，都不能掌握或者推演出有关算术的所有的真理。

更进一步来看，形式化算术的不完备性，不但可以由能思考且有数学直观的人推演出来，连计算机也可以证明出哥德尔不完备定理。这个定理指出了计算机本质上的能力极限。算术的真理在原则上无法被一个形式化系统限制。

“真”和“对‘真’的证明”之间具有相当的差异。

我们在此讨论的数学证明，总是在给定的形式化系统中的证明，而“真”却是独立于形式化系统的。哥德尔证明，数学的“真理”无法约化为证明，而语法也无法取代语义，机械性的规则无法排除对意义的需要。

哥德尔的第二不完备定理更具有讽刺的味道。一个算术系统的公设系统如果是自洽的，这种自洽无法在该系统中被证明，而这种不自洽，不能通过增补假设来完成。它的等价陈述就是，只有不自洽的系统，才能证明它自己的自洽性。而，冯·诺依曼听完了哥德尔的报告，立刻意识到这一点，并兴奋地跟哥德尔讨论，哥德尔只平静地说他关于这一点的文章已寄给了出版社。冯·诺依曼对哥德尔的发现在一开始就有惊人的领悟，他说：“哥德尔告诉我，我们无法通过逻辑的方法获得领悟数学的能力。”要知道他是“现代计算机之父”，曼哈顿计划的主要领导者之一。

普林斯顿高等研究院的第一批终身研究员之一外尔称哥德尔的工作为“哥德尔灾难”（Gödel Catastrophe），具有两千多年历史的亚里士多德的理性认知，尤其以欧几里得几何所开启的公设化的想法，人们认为的理性典范被动摇了。这一切又发生在以希尔伯特为首的数学家们开始着手实现彻底公理化时，即要把数学形式化系统本身视为数学的研究目标，哥德尔比希尔伯特做得更加彻底，但得出了完全相反的结论。

我们要理解哥德尔不完备定理的重要性，不仅要跨越数学障碍，恐怕也要跨越哲学障碍。

后山的龙

北欧的传说中有这样一个故事。有个村子的后山有条恶龙，每个青年男子在他的成人礼之后都会去后山杀龙，但从来没有人回来。有一对青年恋人，男孩去杀龙，女孩偷偷跟在后面。女孩看到男孩杀死了龙，沾上了龙血，变成了那条龙。

哥德尔并没有发现一个复杂神秘的不被任何形式化系统包容的定理，他发现了一个任何形式系统都普遍存在的定理。一旦这个形式化系统有足够的表达能力，就一定存在至少一个直觉上正确却无法在给定的系统中证明的陈述。这个陈述可以在一个以给定形式系统扩展的形式系统内证明，但一定又会有一个陈述，在这个扩展版的形式系统内还是不能被证明，一个广适于所有系统的超级英雄并不存在，而一个无处不在、无法去除的普通存在却存在于任何一个系统中。

因此我们也明白：争论是没有意义的。

学术研究和日常生活中，我们经常陷入对这样或那样问题的争论，但我们往往会忽略讨论的前提。从维也纳学派发展出来的务实主义道路，要求讨论的前提是大家对相同的公设系统有共识。第一，我们在讨论前要有相同的公设；第二，在讨论中要遵从相同的推演规则，即逻辑。

在科学历史上人们意识到这一点并不容易，对真理的捍卫常常是一种堂吉诃德式大义凛然的英雄气概，甚至是以一个伟大科学家的生命为代价。

19世纪末，玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）与奥斯特瓦尔德（Friedrich Ostwald）之间发生了“原子论”和“唯能论”的争论，即物质世界到底是由原子组成的还是由能量组成的。很多年后，普朗克（Max Planck）回忆起来这场论战说：“两个死对头都才华横溢，针锋相对，应答如流。”双方各有自己的支持者。奥斯特瓦尔德的支持者是以不承认有原子存在的物理学家恩斯特·马赫（Ernst Mach）为代表的德国主流学派。作为少数派的玻尔兹曼常年沉浸在与不同见解的辩论中，这极大地损害了他的心理健康。虽然玻尔兹曼最终取胜，包括普朗克也承认自己对黑体辐射的解释借鉴了玻尔兹曼的原子论，但他心理上的痛苦与日俱增，毫无办法解脱。终于在1906年，他以自杀的方式结束自己疲倦已久的心。对于他的死，普朗克感慨地说：“新的科学真理不能通过说服对手而建立。只能等到对手们渐渐死亡，新生代开始熟悉真理时才能贯彻。”对普朗克来说，辩论没有多少诱惑力，辩论不能产生任何新东西，没有实验检验的争论没有实际意义。人是可以接受新知识的，但如果已经有了固执的己见，通过辩论来驳倒对方是不会奏效的。

这件事情，对后来的物理学产生了深刻的影响，20世纪，科学从此努力跟哲学撇清了关系。在没有实验的基础上，我们甚至无法确定该使用哪些公设，也无从讨论在某一公设的基础上哪些结论是对的，更无从讨论该用生命去捍卫哪些真理。