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第八章沿着不完备而生长的物理学

我是个物理学工作者，当我回望物理学的发展的时候，我惊奇地发现物理学本身就是不断找到已有的理论框架的悖论而引入新的假设，从而不断发展而完善的例子。换言说，哥德尔不完备定理是物理学这几百年发展的深层脉络，它是人类探索新知识的最好样本。

在希尔伯特为19世纪的数学做总结陈词，并对未来数学的终极工作做出规划的时候，同一时间，物理界对新世纪也是乐观的。19世纪的最后一天，欧洲著名的科学家们欢聚一堂。大会上，英国物理学家J. J. 汤姆森（Joseph John Thomson）发表了面对新世纪的跨年演讲，他在回顾物理学在牛顿之后的200多年中所取得的伟大成就时说，物理大厦已经落成，下个世纪所剩下的只是一些修修补补的工作。他在展望20世纪物理学前景时，不无担心地讲道：“动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了。”

第一朵乌云出现在光的波动理论上，主要是指迈克尔孙–莫雷（Michelson-Morley）实验结果和以太漂移说相矛盾；

第二朵乌云主要是指热学中的能量均分定则在气体比热以及势辐射能谱的理论解释中得出与实验不等的结果，其中尤以黑体辐射理论出现的紫外灾难最为突出。

后来我们知道，第一朵乌云引出了相对论，第二朵乌云引出了量子力学。这是新世纪里颠覆了经典物理学大厦的两套理论。

牛顿的工作经过它之后的理论和实验科学的发展形成了如今我们称之为经典物理学的宏伟建筑。19世纪末的科学家若是相信物理学建立在不可撼动的基础上，将永远屹立不倒，这是那个时代信仰般的常识。经过一代又一代的科学家、数学家和哲学家的努力，牛顿的宏大设计在19世纪末达到了巅峰。经典物理学看上去几乎能够解释自然界的一切：运动物体的动力学中力和运动的相互联系，热学、光学和电磁学几乎解释了人们日常生活中碰到的所有问题。它的内涵是如此深远和广大：从地球上日常经验的事物一直到可见宇宙的最远处，从苹果到恒星，从发动机到电磁波。理论与实验观测如此吻合，理论对实验的解释又如此的无可置疑。所有人都认为，即使还存在一些遗留的问题，但与经典物理的基本成就相比，这些问题似乎是微不足道的，百里之行已经走了九十九里，终极的大统一理论只有一里之遥。然而在1900年之后，两个微不足道的问题竟然将物理世界掀了个底朝天。

当物理学延伸到光子和原子的层面时，人们对自牛顿以来建立的经典物理产生了信仰危机。量子力学证明经典物理大厦不但可以被撼动，它的基础本身都有问题。牛顿物理学是机械的、决定论的、确定的，其含义似乎没有任何值得怀疑的地方。与此对比，新的量子物理学的特点是非决定论的、交互的和不确定的。在量子力学建立一百多年后的今天，物理学家仍然声称其含义还远不清晰。

20世纪20年代一个学术团体在奥地利首都维也纳形成，被后人称为维也纳学派。学派的成员多是当时欧洲大陆优秀的物理学家、数学家和逻辑学家。他们关注当时自然科学的发展成果，如数学基础论、相对论与量子力学，并尝试在此基础上去探讨哲学和科学方法论等问题。受到19世纪以来德国实证主义传统影响，加上在维特根斯坦《逻辑哲学论》思想的启示下，维也纳学派提出了一系列有别于传统的见解。大致来说，他们的主张有：第一，拒绝形而上学，实验是知识唯一可靠的来源，新的学科往往需要建立在已有的方法上与已知世界的实验相对照；第二，只有通过运用逻辑分析的方法，才可最终解决传统哲学问题。维也纳学派的观点统治了20世纪之后的科学哲学。维也纳学派主张科学是认识真正知识的渠道，而一个科学陈述要有意义，就必须既符合形式逻辑，又是可验证的。这对于物理学理论发展的意义是明显的。

哥德尔不完备定理的发表让我们更加清楚了这样的分界有其天然的原因。自然世界为向哥德尔的不完备诘难提供新假设的源泉，宇宙深处的奥秘永远为新的探索提供“多一个假设”的可能。物理学因此成为人类的理性思维和自然世界接触从而得到验证的第一道界面（参见彩插10-1）。例如狭义相对论有两条基本假设，光速不变和协变性原理。很多人都想推翻狭义相对论，于是要从光速不变入手，假设光速是可以被超越的。但事实上狭义相对论并没有说光速不可以被超越，只是在这个体系内，光速的不变性解释了为什么牛顿力学在速度接近光速的时候出了明显的问题。接下来有大量的实验证明光速不变这个假设是站得住脚的。人们当然可以不以此为终结，尽可以提出新的假设，构建新的理论体系，但如果没有实验验证和支持，这样的假设就没有实际的意义了。我们永远无法在体系内部去推翻体系本身，因为这个体系内部总不能自己完全证实或证伪。这也就是我们经常开数学家的玩笑，说“你们那是人文科学，而物理学才是自然科学”的深层原因。自然界总会给我们更多的线索与维度来拓宽和检验我们的认识。用给出新的假设成立的证据，来扩大假设体系是建立一个新理论的唯一出路。这又被哥德尔言中，他就是告诉我们人类要不断地这么做，这才是我们认识自然的规律。于是研究科学和数学的人都好开心，吃不完的饭，永世无忧！

落体悖论

两千多年前，亚里士多德认为“物体自由下落的速度和物体的重量成正比，物体越重，下落的速度就越快；物体越轻，下落的速度越慢”。亚里士多德的理论看起来正好与人们的生活经验相符，羽毛比石头下落的速度慢，在长达两千年的时间里都没有人怀疑过这个理论。但是，如果把羽毛和石头绑在一起，下落得更快还是更慢？一方面，绑在一起的组合物体重量更大，应该落得更快；另一方面，落得快的物体会被落得慢的物体拖后腿，比单独下落要慢，两个物体下落的速度应该取平均值。这样亚里士多德的落体理论出现了一个悖论，一个说法合理但用亚里士多德理论无法证明真伪的命题。

16世纪，伽利略的比萨斜塔实验证明：一对同样大小的木球和铅球同时落地。自由下落的物体，下落的速度与它的质量没有关系。它也是惯性定律、自由落体运动定律甚至牛顿万有引力的基础。当然，以我们今天的知识而言，这样的推论并不是那么直接。当我们考虑空气阻力时，可以建立完全不同的动力模型。以空气阻力出发，一样可以建立一个符合实验结果的运动模型。再言之，如果我们是鱼类，生活在水里，再去观察轻和重的物体下落时，阻力就很难被忽略不计，从而极有可能发展出另外一套先引入阻力和重力的力学系统来解释落体的运动。

从历史的记录来看，这段关于比萨斜塔的记述，可能更多的是后人杜撰的。伽利略本人也许并没有在比萨斜塔上做过这个实验，但它仍不失为一个好故事。不管怎样，伽利略的运动定理为牛顿力学的最终建立提供了稳定的基石。接下来的牛顿力学影响了后来几乎全部科学的内容和方法。所以我们有必要仔细看看它会不会也隐藏了回答不了的问题。

光速问题

牛顿力学的公设体系，又称牛顿力学的三定律，表述如下：

第一定律：在没有外力作用的情况下，物体保持静止或匀速直线运动；

第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与其质量成反比；

第三定律：物体的相互作用力大小相等，方向相反。

牛顿运动定律中的第一定律是其他定律的前提和基础，它奠定了经典力学的概念和基础，它默认了存在一个静止均衡的宇宙作为所有运动的参照系。第二定律和与其等价的动量定理，确定了物体运动状态变化与力作用的关系，将有关物体的运动和受力关联起来。第三定律确定了物体与物体的相互作用关系。牛顿同时依靠开普勒行星运动定律深入研究了万有引力，物体质量M1和M2之间的相互作用力F表达为：

$$
F = G \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { r ^ { 2 } }
$$

其中G是万有引力常数。结合万有引力定律，牛顿力学完善了当时的天体力学，使人们第一次对日、月、星辰的运行规律有了准确的了解。牛顿给出了对力的普遍陈述，揭示了两个物体相互作用的规律，为解决力学问题、解释天体运动提供了理论基础。

但事实上，利用牛顿第二定律就可以通过测量物体的运动来定义质量，这是跟运动相关的质量定义，被称为惯性质量。通过万有引力定律，也能定义一个质量，这个是不需要运动的质量，被称为引力质量。万有引力所定义的质量会跟牛顿第二定律定义的质量有严格的对应关系，当参数取的合适的时候，它们之间的比例可以严格的是1∶1，这两个不同定义得出来的质量可以严格相等并不那么显而易见。事实上，这个问题一直到广义相对论的提出才有了完全的答案：爱因斯坦干脆把这两个质量等价当作了广义相对论的基本公设。

牛顿力学的建立对人类的认知史有着重要的作用，这一点怎么形容都不夸张。自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中，上帝说，让牛顿去吧，于是世界才有了光。但我还是要让读者注意到，在牛顿之前自然哲学已经有了充分的发展，甚至牛顿引以为豪的微积分，都有莱布尼茨来分享他的荣耀。但这并不能掩盖他的光辉。从牛顿之后，人们对认识世界逐渐有了越来越多的信心。人们通过计算和思考，在自然界中不断验证，做出了以前想都不敢想的预言，居然都精确得很。这无疑增长了人们认识宇宙万物的野心。牛顿方法的延伸，几乎可以说帮助人类建立起了迄今为止的所有现代学科，也重塑了人类对于世界的观点。从此，人们开始有一个近乎信仰的科学认知，有一个客观的世界，是可以不依赖人的直觉而存在的，而且可以被认知、被了解、被描述。

牛顿对物理学的探索涵盖了今天的很多领域，包括他对光的认识。据说他好奇地用手指压迫自己的眼珠（请勿模仿，否则就像雷雨天跑去放风筝发现闪电也是电的富兰克林），发现了太阳光是可以分解成很多不同颜色的，后来利用三棱镜让白光分解成七色光只是一个方便的展示。牛顿认为光是由微粒组成的，这样就可以很轻易地解释它为什么沿着直线传播，就像从枪里发射出来的子弹。牛顿反对光的波动说，他甚至证明如果光是波的话，一个圆盘的影子后面应该因为光的衍射而形成一个个亮圈，而影子的中心是一个亮点。这显然违背他所认为的常识，所以光应该是由粒子组成的。更精细的实验结果就真的做了出来，具有讽刺味道的是，这些因光的波动性而产生的亮环真的存在，而中心真是因为衍射而形成的亮点，这些环被后人称为牛顿环。那么证据确凿无疑，光就真的是波了。

根据人们当时对波的认识，波需要传播介质，人们把光传播的介质叫作以太。人们很快认识到光波是横波，而横波只能在固体中传播，所以以太也应该是固体。这样就带来了一系列的悖论。

横波只能在固体中传播，作为介质的固体越硬，传播速度就越快。声波在木头中的传播速度可以达到每秒500米，在钢铁中就可以达到每秒5000米。而光速居然有每秒30万千米！这样以太应该非常非常非常硬，但，这么硬的东西我们人居然没有卡在里面！而且，我们丝毫感觉不到它的存在，它应该比空气还要轻柔才对。硬或者软？这是关于以太的第一个悖论。

假设以太对于宇宙的绝对坐标系来说是静止的，这样对于宇宙中所有的运动物体而言，以太相对也在运动。已知地球相对于宇宙是运动的，这样地球相对于以太也是运动的。这时的人们已无法想象宇宙跟地球是相对静止的，那样就又回到了太阳和宇宙所有星体和物质都围绕地球转的地心说。牛顿之后的人们已经接受了我们地球没那么特殊的宇宙观：我们所在的地球不过是太阳系中诸多行星中的一个，绝不是宇宙的中心。这样，如果顺着地球运动的方向发射一束光，同时逆着地球运动的方向发射另外一束光，这两束光按照伽利略的运动学原理，速度显然是不一样的。假设地球运动的速度是 $\mathrm { v _ { e a r t h } }$ ，光的运动速度是c，那么顺着地球运动方向发射出来的光相对于静止的以太来说速度是 $c ^ { + } \mathrm { v } _ { \mathrm { e a r t h } } .$ ，而逆着地球运动方向发射出来的光相对于以太的速度是 $c \mathrm { ~ ~ { ~ - ~ } ~ } \mathrm { v } _ { \mathrm { e a r t h } }$ 。地球以每秒0.46千米的速度旋转，根据当时美国物理学家迈克耳孙（Albert Michelson）所做的一系列实验，这个速度差是可以观察到的，但迈克耳孙居然穷经白首也没有看到！难道以太相对于地球反而是静止的，这不就意味着地球相对于宇宙也是静止的了？难道又要回到地心说？这是以太的第二个悖论。这两个悖论，在牛顿力学内部无法回答。

孪生子悖论

为了解决光速不变引发的悖论，荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）提出了洛伦兹变换，假设以太会沿着光源运动的方向收缩，这样便抵消了不同方向上光速的差异。而爱因斯坦干脆假设光本身就是不变的，根本不需要有以太这种介质来传递光，这样也可以推出洛伦兹变换。但比照洛伦兹的解释来说，爱因斯坦的理论简单、清晰了很多。

爱因斯坦在他1905年的工作中假设没有以太这种东西，而光速在任何一个参照系中都是不变的。于是他构架了后来称之为狭义相对论的理论框架。狭义相对论的公设：

1.光速在任何一个惯性参照系中的速度都是相同的。

2.物理定理适合于任何一个参照系。

以哥德尔不完备定理的眼光来审视爱因斯坦关于狭义相对论的工作，就似曾相识了。当我们在欧几里得几何中不能去证明平行线公设可以由其他几个公设推导出来的时候，我们就把它当作一个基本的公设。而不同的关于平行线公设会给出截然不同的几何理论。差别在于，物理学以基于自然现象的实验为基础，不会有这么多不同的公设存在。既然光速测不出来相对于运动物体的变化，那么就把它当作一个基本的公设好了。哥德尔同样告诉我们，这样可以解决现有的问题，但这个公设系统仍然是有限的公设系统，一样会有一些问题是它无法回答的，我们接下来就会看到。

不管怎么说，当我们把光速不变当作一个基本假设的时候，我们会看到伽利略的运动理论作为牛顿力学的基础因之而改变。

物体A相对于地面的运动速度为u，物体B相对于物体A以速度v在运动，那么，物体B相对于地面的运动速度就是：

$$
\mathrm { ~ ~ v ~ } ^ { \prime } = \mathrm { ~ ~ v ~ } ^ { - } \mathrm { ~ ~ u ~ }
$$

但根据狭义相对论，这一速度表达为：