人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

$$
\nu ^ { \prime } = \frac { \nu - u } { 1 - \frac { u } { c ^ { 2 } } \nu }
$$

这样，当在以速度u行进的火车上发射出一束光，这束光相对于火车的速度是光速c，但它相对于地面的速度也是光速 $\boldsymbol c _ { \circ }$ 。而由于通常情况下 $u < c ,$ ，于是伽利略变化就是非常好的近似了。

同样的，狭义相对论也给出了时间的变换公式：

$$
t = t _ { 0 } { \sqrt { 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } }
$$

这这样一个运动着的物体所经历的时间会比静止的物体所经历的时间要慢。当我们说地上一年，天上一天，这个天上的坐标系需要以0.9999961倍的光速在运动。虽然看起来会让人有些不习惯，但也还好，直到“李生子悖论”（Twin Paradox）被指出来。

在1905年爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿的机械自然观统治着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。而“时间相对论化”的确立，取代了牛顿“绝对时间”的概念，使“绝对运动”概念也失去了立足之地。但狭义相对论很快遇到了在自己体系内不能解释的悖论。

孪生子悖论

有孪生兄弟二人。哥哥坐飞船以0.8c的速度离开弟弟所在的地球，过了地球上的10年后回来。这时候哥哥在飞船上实际经历的时间是：

$$
t = t _ { 0 } { \sqrt { 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } = 1 0 \times { \sqrt { 1 - { \frac { ( 0 . 8 c ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } = 6
$$

6年，所以当两个人再见面的时候，去宇宙旅行过的哥哥会比弟弟年轻4岁。但，如果我们稍加思考：运动是相对的，当宇宙飞船相对于地球以0.8c的速度运动，地球也是相对于飞船以0.8c的速度在运动。当兄弟俩再见面的时候，应该是弟弟比哥哥年轻4岁。

到底谁年轻的呢？狭义相对论并不能回答这个问题。这就是著名的“孪生子悖论”。

质量问题

惯性质量和引力质量可以严格地成比例，当参数选择合适，这两个不同方法定义的概念可以完全相等。牛顿意识到了这个问题，但在牛顿体系里并没有办法解释为什么惯性质量等于引力质量。这是两个不同的定义，惯性质量是由牛顿第二定律来定义的，加速度和质量的乘积等于外力。而万有引力（重力）也可以定义质量，是不需要运动的。然而当参数选择合适的时候，这两种不同的方法所定义的质量永远是成正比的。当比例参数选择合适，这两者可以完全相等。对于这个问题在牛顿力学体系内部找不到合理的解释，牛顿说这简直是上帝的杰作。一直到三百多年后，爱因斯坦干脆把惯性质量和引力质量等效作为广义相对论的一条公设：引力质量就是惯性质量，重力就是空间弯曲的效应。

当我们坐电梯的时候，电梯启动和电梯停止时我们会感到超重或者失重，我们的腿上会觉得有额外的重力增加或者减少。这个完全可以解释为惯性作用，而增加的这些像重力一样的力被称为惯性力，是外力要改变我们或静止或匀速运动的状态时所要施加的力。如果在一个密闭的电梯里，当然，大多数电梯是密闭的，假设地球突然增加了质量，或者减少了质量，比如在我们没有察觉的时候地球跟另外一个大质量的星体融合或者裂成两半等，在电梯里的我们并不知道，是重力增加了还是电梯在加速或减速，从自身感受上我们无法区分这两者的差别，而爱因斯坦认为，引力质量和惯性质量根本是等价的，这才造成了在封闭电梯轿厢中的人无法区别的是电梯被加速还是引力发生了骤然变化。这是一个重要的新假设，因为这样，我们可以用星体的某种曲线运动，把重力从牛顿体系中除去，从而把时间和空间相互等价而关联起来，创造一个新的时空观。

这时不得不引出广义相对论的一个重要工具——非欧几里得几何。在前面我们讲过两千多年来欧几里得的《几何原本》一直是大家公认的数学典范，它不仅符合人们的常识，而且优美对称。后世的许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对真理典范的地位。在欧几里得几何的五条公设中，唯独的一点小遗憾就是平行公设不够简明，同一平面内，过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这更像是一条定理。在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然地引起人们考虑：这条啰里啰唆的公设是否可由其他公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。这之后的两千多年，许多人都曾试图证明这点，有些人开始以为自己成功了，但是经过仔细检查后发现，所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到了一些和平行公设等价的命题罢了。到18世纪，有人开始用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说导出了矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。黎曼等人假设无穷远处的平行线可以相交和更加分离，由此创造了曲面几何，发现了全新的几何理论，它们跟欧几里得几何只是假设不同，但可以推导出完全不同却依然自洽的内容。广义相对论的四维时空框架中的几何学就是利用了黎曼几何，而不是通常的欧几里得几何学。在这种几何学中，空间和时间都不是平直的，而是弯曲的。这并不意味着我们的三维空间包含在另外一个多维空间内，而仅仅是指欧几里得几何学定律适用于更小的、局部的时空范围。当时空尺度变大时，空间便会经历一个从欧几里得平面几何学分离出来的过程。这与地球上通常的几何学情形类似，地面通常看起来是平直的，正像欧几里得几何赋予它的性质那样。当我们在足够的距离之外，比如在飞行于400千米高的航天器上看，映入我们眼帘的是地球的曲线。

一个小球在一个空间曲面上运动，当它达到某一速度时会有惯性力让它绕着曲面的中心运动。为了让小球能这样运动，需要一个弯曲的空间。能够造成这个弯曲的空间的是一个质量大的物体，比如太阳。你可以想象地球周围的空间弯曲是太阳和地球质量的共同作用。这种由曲面构成的圆周运动和因为重力构成的圆周运动是完全对应的。

广义相对论在空间和时间的几何形状与空间和时间内运动物体的行为之间形成了一种广泛的联系。想象一下，把一个玻璃珠放在床垫上。如果有一定速度，玻璃珠将沿直线在床垫上移动。但如果在床垫上放一个保龄球，玻璃珠如果有相同的速度，就会沿着保龄球所形成的曲面滚动，路径从直线变为曲线。保龄球的重量使床垫发生变形，影响了玻璃珠的运动轨迹。用行星、恒星或转动的星系替换保龄球和玻璃珠，床垫换成时空本身。在没有大质量物体的宇宙中，没有空间和时间的变形，两点之间的最短路径是一条直线。当大质量物体出现而改变时空形状的时候，最短的路线将变为曲线。天文学家在1919年的一次日全食观测中证实，太阳的质量可以导致来自遥远恒星的光线弯曲，像爱因斯坦的广义相对论预测的一样。这是广义相对论中所描述的惯性质量和引力质量等价这一假设的结果。

广义相对论导致了空间与时间的融合。按照爱因斯坦的时空观，空间与时间的融合也发生在日常的生活中。例如，在某一确定的地点

（北京天安门）和确定的时间（1949年10月1日下午3点）发生了事件（中华人民共和国开国大典）。这之中有三个数字足以在三维地图上标记北京天安门的空间：经度、纬度和海拔高度。如果添加了另一个数字：时间，那么这个时空中的唯一一点就被确定为时空中的一个事件。如果一个事件可以由四个数字定义，那么一系列事件可以由一系列这样的数字定义，彼此跟随，就像在排队行进。在广义相对论中，这种序列被称为世界线。狭义相对论中所讨论的运动着的时钟会变慢的效应，很快就会导致了“孪生子悖论”。这个问题在狭义相对论的范畴内并不能得到解决，直到爱因斯坦发展出来广义相对论，人们才知道在重力场里面，时间是可以在重力的环境下变慢的。而哥哥能够回到地球上来，是需要先减速然后再反向加速的，这个减速和加速的过程，等价于一个重力场，而这个重力场导致了孪生兄弟中的哥哥所经历的时间绝对变慢。

爱因斯坦晚年曾写道：“过去、现在和未来之间的区别只是一种幻觉。”这是一个忧郁的评论，但它直接来自爱因斯坦的狭义相对论。想象一下，一群观察者在整个宇宙中不经意地散落，每个人都能够将自己生命中的事件组织成一个线性顺序，一条世界线，每个人都相信自己的生活包括一系列从过去到现在再到未来的时刻。分散在各个时空的观察者们都相信他们现在的感觉是普遍的。毕竟，“现在”，就是此时此刻，不是吗？不那么是。时间以不同的速度流逝，这取决于一个人移动的速度：地球上的一小时过去时，对于几乎用光速离开地球的火箭而言，可能就只有几秒钟。这样，一个人的“现在”完全有可能是另一个人的过去或未来。相对论并没有限制时间穿越，困难的是怎样回到过去。

在时空弯曲模型中，引力被空间的弯曲完全代替，而质量成为空间弯曲的原因。光又扮演了一个神奇的角色，它把时间和空间统一到一起，从而形成一个完整的时空弯曲模型。但一旦推到时空弯曲了，自然而然就会有些好玩的事情。沿着弯曲的表面行进，我们永远无法超越光速，但因为弯曲，我们总有些机会可以在弯曲的对面打个洞，直接跳跃到前面，这叫作虫洞。对于虫洞的探求，也还有很多问题，例如，我们需要多大的能量来维持一个够大的虫洞让人能够钻过去？一旦钻过去我们就回到了过去或未来。到了未来，我们要怎样沿着虫洞回到来时的那个时空点并带回有用的信息？量子力学允许的很多小小的虫洞时刻产生在我们周围，然后又以极快的速度消失。

既然宇宙可以被想象成弯曲的样子，大爆炸也一样，不要问我大爆炸之前宇宙是什么样子，时间轴也是炸出来的。这就像我们在地球的南极点上所指向的所有方向都是北，在地球的北极点上所指向的所有方向都是南一样，在宇宙诞生的那一瞬间，所有时间都指向未来，并不存在它的过去。

当地球围绕太阳旋转的时候，两者都扭曲着自己周围的时空，而这扭曲并不是静止不变的，这种扭曲会成为某种周期性现象，周期为一年。地球周围的时空确实被周期性运动的大质量扭动了，这样就会形成周期性的时空波动，向更广阔的宇宙中传播，这样就形成了引力波。但对地球和太阳这样的组合而言，其引力波的大小实在是太小了，而且周期也太长，我们没有合适的工具能够测量。但对于质量大很多的黑洞组合，比如两个黑洞互相围着对方在旋转，这个引力波就确实可以在地球上被测量了。可以想象，当设备精度进一步提高，在未来，地球和太阳这样的组合所产生的引力波，也是可以被测量的。由于引力波并不是今天才产生的，到达地球之前它已经走了很久，我们可以通过对这些引力波的观测来了解早期宇宙的形成，从而为宇宙的演化画一幅新的时空图。