人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

这就留下了更困难的第二步——证明它不在PH范围内。

这就是拉茨和塔尔所做的工作。他们找到了一个可以区别BQP和PH的黑匣子。这是计算机科学中常用的一种方式，当人们想证明的东西超出了某一范围时，找到一个例子在这范围之外就够了。

拉茨和塔尔计算出计算机需要询问“黑盒子”的次数，以便比较两个序列是否是独立的。“黑盒子”就像一个暗示装置，你不需要知道它是怎么工作的，但知道它是可靠的。如果你的问题是找出两个随机数生成器是否有某种隐含的关联性，你可以问“黑盒子”问题，比如“每个随机发生器生成器的第6个数字是什么”，接着人们就可以根据每种类型的计算机需要解决此问题所需的提示数量来比较计算能力，需要更多提示的计算机速度较慢。

从某种意义上说，这个问题更关心谈论信息数据而不是计算。拉茨和塔尔证明量子计算机需要的提示远远少于经典计算机解决类似的问题所需要的。量子计算机只需要一个提示，相比较即使有无限的提示，PH中也没有能够解决这个问题的有效算法。拉茨说：“这意味着有一个非常有效的量子算法来解决这个问题。”这就证明了，对于被询问的“黑盒子”而言，这是BQP中的问题，但不是PH问题。

这样BQP和PH就此分离。拉茨和塔尔的工作也证明，即使P等于NP，仍然会有只有量子计算机才能解决的问题。它至少提供了足够坚实的证据，说明量子计算可以解决经典计算机不能解决的问题，它存在于与经典计算机不同的计算领域，即是说，如果基于经典计算机的这一代人工智能不能够完成的任务，量子计算机也许可以。

更高一级的逻辑？

哥德尔不完备定理可能包容了量子力学本身。量子力学是完备的而不是经典意义上的自洽，这也许启发我们量子计算机有可能是突破经典计算机理论而超越了图灵机的限制。它能够解决一些图灵机所不能够解决的问题，而向模拟人的思维更进一步。

对待人工智能，人类往往有种对机器的“人肉歧视”，认为只有人做的才是好的。图灵说明了借助于图灵机，所有可描述算法都可以由图灵机来完成，但所有不可描述的东西意味着我们也不懂。比如感情、联想、直觉，我们都不懂如何用算法来描述人类这些特别的技能。一旦我们能够清晰地认知这些技能，我们就可以用一个图灵机来模拟它，但这做不到，至少目前做不到。所以，这意味着我们懂的东西，机器也会懂；而我们不懂的东西机器也休想懂。从这个意义上讲我们没有道理歧视机器，因为我们懂的不比它们更多，我们也没必要担心机器，它们懂的东西也不会比我们更多。而这个界限在于那个似乎并不太处处可见的创造的源泉，“捣蛋鬼”哥德尔所画出的界限意味着：有些真理，我们能够意识到，但不能够为算法所描述。这样的规则成就了人类思维的特殊性，可以让我们跳出有限的假设而获得直觉带来的新知。

描述自然的法则似乎都具有数学形式。至少在物理学领域是这样的，你可以将定律写成数学形式，这样它就会具有强大的预测能力，物理学的这个分支领域或具体问题才成为一个可描述问题。至于大自然为什么是数学的，同样也是一个未解之谜。但一旦可以用数学描述了，就可以交给图灵机让人工智能的设备来帮助我们做出新的预测了。我们说，这件事情已经被我们的认知领域包容了。

物理学是最基本的、包罗万象的学科，它对整个科学的发展有着深远的影响。到了今天，物理学是与过去“自然哲学”相当的现代名称。现代科学大多数是从自然哲学中产生的。许多领域的学生发现自己是在学习物理学，就是因为它在所有现象中起着基础作用。数学与物理有着令人瞩目的关系，虽然有时候我们说数学不是一门自然科学，或者科学，但它的正确性是不需要实验检验的。我们说一件事情不是科学，并不意味着我们对它有不敬和丝毫的轻视，它只是不适用于我们所定义的科学标准而已。

——费曼

1921年，一本《微积分基础教程》勾起了哥德尔对数学的兴趣。同一时间前后，他读了一本歌德的传记，这又间接地引导他对牛顿的思想和一般物理学的兴趣。1924年，哥德尔进入维也纳大学学习物理。1926年，因为对精确性的追求，哥德尔决定离开物理而研究数学，最终在1928年聚焦在数理逻辑上。从他信里的两段文字，可以看到他这一时期的思想，一是他早早成为柏拉图理性主义信仰者，二是他认为自己与当时维也纳学派的知识氛围格格不入。

大约从1925年起我就是一个概念和数学实在论者。

我不认为我的工作是20世纪早期维也纳学术气氛的一个侧面。

20世纪物理学和数学都经历了新的革命和反思，从而到达了新的阶段。这个新阶段的意义和影响直到今天也还在发酵，事情才刚刚开始。我看到的是，若拿哥德尔的标准来看我们还没有熟悉的，哪怕是经典逻辑学，每句话都会有问题，这让我写起这本书来也举步维艰。从19世纪末开始，人类的科学和认知经历了两个时代的跨越，首先是经典理性逻辑的梳理和完善，接着是这种逻辑的突破。这两个阶段接踵而来，让我们这个文明古国多少有些措手不及。

大多数人同意物理世界是客观实在的。我们从经验中得知，人类的思维对物理学有很多认知，这一点不论从我们日常的知识还是从我们今天掌握的物理学知识来说，都是显而易见的。我们还知道，人类的思维对数学世界也有许多认知，因为我们有丰富可靠的数学。大多数人同意思维经验在我们的知识中起到重要的作用，但这绝不是说仅仅用感官经验就能解释这些概念性知识，而概念性知识不但在物理学中起到重要的作用，它在数学中的作用，甚至更加突出。那么我们自然会问道，思维与实践的结合既然能够创造足够多的概念性知识，尤其是能够了解和应用数学工具，那么这种能力在物理世界中的应用范围能扩展到多大？其本性如何？

数学的不能

数学很早就不自觉地被哥德尔不完备定理所影响。我们回溯历史，在数学建立的初期，就有些某个理论框架里不能理解的事情，从而不得不引入新的概念进行补充。

大约在公元前550年，古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”（指整数），即数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实世界。数学知识可以由纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。而自然界的一切数，不是整数，就是整数的比值，即有理数，rational。

当毕达哥拉斯发现了勾股定律，即一个直角三角形的斜边长度的平方，等于两个直角边的长度的平方和。麻烦就有了，一个等腰直角三角形，当它的两条直角边都是1的时候，它的斜边不是任何两个整数的比值。

毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasos）花费了大量的时间和精既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数，它是一个新发现。既然基于整数和分数的数合称为有理数，后来人们把这种新数就取名为无理数（“无理数”最初的意思只是“不成比例的数”，而不是没有理由的数，像今天它的字面所暗示的一样）。这个“新数”的发现本可以直接促进当时数学和人类文明的发展，只不过毕达哥拉斯学派的人却视之为洪水猛兽。为了维护学派的威信并永远保守这个秘密，希帕索斯被毕达哥拉斯学派的师兄弟偷偷扔进海里淹死了。

希帕索斯的发现最终还是被世人所知。其他人也发现这种新数的存在，如面积为3、5、6等的正方形，它的边长就无法用整数和分数来表示。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人们所共知的事实。

这让我们第一次看到已有的数学假设体系中不能给出完整描述而不得不引入新的特殊规则的案例。同样，直到19世纪，欧几里得几何一直是数学公理系统的典范。几乎一开始人们就相信欧几里得几何体现了世界的真实，它是关于宇宙的绝对真理的一部分。它的特殊地位和它对数学其他领域的影响两千多年来基本没有变化。欧几里得几何学的优美和它对绝对真理的广泛信仰为数学信仰提供了重要基石。两千多年来神学家和哲学家普遍认为人类的理性可以掌握一些终极的事物的本质，如果受到质疑，那会超出了我们思维的力量。欧几里得几何作为一个具体的例子和方式预示着人对事物最终本质的洞察是可能的。这里面最神奇而经典的案例应该是牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》。在这本书中，牛顿抛弃了他自己创造的微积分工具，只用欧几里得几何证明了他在经典力学中的所有结论。

但是，高斯和黎曼等人发现，事实上可以有其他形式的几何存在。只要不包括欧几里得几何的第五条平行公设，就可以存在其他数学逻辑上自洽的几何。这意味着欧几里得几何学不是唯一的真理——它只是模型。结果，新的相对主义形式出现并挑战了欧几里得几何作为经典系统唯一标准的地位——实际上它只是诸多可以描述自然世界的模型中的一个。描述地球表面的几何形状就可以不是欧几里得式几何的。“非欧几里得”变成了一个新的和相对真理的代名词，以至于人们不得不审视这样的相对真理是不是也会延伸到我们默认为正确的其他工具上。这甚至包括逻辑学本身，新的数学化的形式逻辑通过改变经典逻辑的公理系统表达方式，也可以创造出来平行于亚里士多德已定义的逻辑学而成为新的逻辑工具。

19世纪初，挪威数学家阿贝尔（Henrik Abel）证明不同于2次、3次或4次方程的情况，一般的5次方程不能通过任何方式精确求解。几年之后，在1837年，法国数学家皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel）严格证明了仅仅通过使用直尺和圆规作图，不能把60°的角分成三等份。这些例子继续在各个角度暗示特定数学公理系统的局限性。

传统的经典数学观作为我们描述世界的一种方式，可以被其他的方式取代。我们逐渐认识到数学可以存在无限制的模式系统，因此我们可以定义无限数量的公理系统。其中一些模式可以在自然界中使用，大多数不是不可以，更多的时候只是不方便。作为数学系统的典型代表，欧几里得几何曾经很长时间内被认为是世界绝对真理的一部分，与现实有着独特的联系。但非欧几里得几何形状的发展和非标准逻辑意味着现在的数学存在只不过是逻辑自洽的，即不能证明0=1之类的矛盾命题，它不再是唯一的描述物质世界的工具。这让19世纪末的数学家有一种期待，既然可以延伸出这么多门类的数学系统，是否有一种公有的数学语言系统来描述这些数学系统，并且判定它们的有效性和有用性。这一门正确的真理性的描述数学的数学，我们称之为元数学。人们希望元数学可以脱离具体的公设从而成为一套完备的逻辑系统，一旦拥有了这套通用工具，我们之后的工作只需要注释来说明数学的某一分支中具体的公设和名词对应于元数学系统中的哪个符号，而元数学已有的论证系统会保证其证明的关系自然成立。

当时最伟大的数学家希尔伯特，通过对皮亚诺从1882年到1899年的工作分析，在1899年开始了一项系统的计划，即将数学的立足点置于正式的元数学公理化之上。这是希尔伯特说明数学的重点，“一个人必须能够准确陈述点、直线和平面的概念，就像我们可以明确知道桌子、椅子和酒杯这些概念”。他相信有可能确定公理数学的每个部分（以及整个数学）的基础都是坚实的，可以证明这些公理是自洽的，然后表明由此产生的陈述系统和由这些公理形成的推论是完备的和可判定的。

更确切地说，一个数学系统是自洽的：我们不能证明陈述S和它的否定陈述 $\widetilde { S }$ 都是真的，即数学定理之间必须不能有矛盾。

一个数学系统是完备的：对于我们可以用数学系统所规定的名词和逻辑所形成的每个陈述语句S或者它的否定陈述 $\widetilde { S }$ ，是可以证明其正确与否的。

希尔伯特对数学的形式主义观点是一个严密的推论网络，它要求数学体系内的定理之间有无可挑剔的逻辑联系，数学定理被定义为所有没有瑕疵的逻辑陈述的集合。希尔伯特着手完成了形式化数学，并相信它最终有可能会扩大到所有其他范围，包括物理学等所有科学，因为这些领域最终不过是某种应用数学可以涵盖的内容。他计划从比如算术这个最简单的、最符合人的直觉习惯的数学系统开始，先把它放在一组严格的公设基础上，按照他的规划，通过添加额外的公设来加强系统，在每一步确认系统的自洽性和完备性仍然存在，直到最终系统变得足够大而包含整个数学。

希尔伯特的计划基于牛顿时代之后科学界建立的充分自信：真理就在那，迟早会被我们认知，一切只是时间问题，所有数学都会在形式系统的架构中解决。正如希尔伯特的豪言壮语：“Wir müssenwissen，Wir werden wissen。”（我们必须要知道，我们必然会知道。）

但是，希尔伯特的数学理想王国很快就被年轻的哥德尔颠覆了。作为自己博士论文的一部分，哥德尔完成了对希尔伯特计划的早期步骤，证明了简单逻辑的自洽性（图灵后来表明它不是可判定的，即它不完备）。但他接下来的工作使他成为现代最伟大的逻辑学家。远非延伸希尔伯特的计划而是实现其关键目标——证明算术的完备性，哥德尔证明了只要数学系统稍稍复杂一点，足以包含算术的任何系统都必 须 是 不 完 备 和 不 可 判 定 的 。 1930 年 9 月 7 日 ， 哥 德 尔 在Königsberg（哥尼斯堡，希尔伯特的家乡）举行的会议上简要地宣布了他的结论，虽然似乎没有引起足够的轰动，但出席这次会议的冯·诺依曼意识到了他结论的重要性：哥德尔一举结束了希尔伯特对于终极数学的伟大蓝图。

乐观主义者和悲观主义者

哥德尔不完备定理展示了即使数学系统的理性也受到限制，这个结论很快影响了哲学家和科学家对世界和我们自身的看法。一些人声称它表明了所有人类关于世界万物的研究也必将受到限制。科学是基于数学的，数学无法发现所有真理，因此科学也无法发现所有真理。人们甚至悲观地认为哥德尔的工作使得数学的发展成为仅仅为了锻炼人类智力的游戏，如同数独或者棋类游戏，人们在其中自得其乐，并不断消耗过多的精力来满足所谓的好奇心。

这种悲观主义，与希尔伯特1900年向着数学家吹响的伟大号角截然不同。哥德尔的思想很快被同时代的数学家所了解，以至于很多人一度以为数学的结局是离开自然科学，成为人类认知和描述世界的工具，与语言和文学没什么明显界限：数学简直是一门人文学科。进一步而言，哥德尔不完备定理让数学家对数学的工具性追求都不能尽善尽美，这甚至与人的主观努力没有关系。数学家似乎要在这种如芒在背的痛苦下探索可能的创造性。