人工智能时代：破解人机共存密码（套装共10册）

数学曾无可辩驳地、信誓旦旦地主张物理学是基于数学的，因此由于数学的不完备，物理学也将无法发现所有真实的东西。从20世纪开始，从量子力学开始，利用诸如矩阵运算等数学工具，利用概率对可观察量进行预测，物理理论已经构建了更复杂的版本。但还是有人会说，包括最直接的牛顿经典物理，不可判定性是常见自然现象，系统的不可判定性是已经自然存在的规则而不是新东西。

哥德尔不完备定理限制了我们理解宇宙所用的必要手段，它构成了我们研究自然时的基本障碍。因为似乎在哥德尔不完备定理的作用下，数学结构将永远嵌入更深层次的、以直觉的智慧和朦胧为特征的思维。对于物理学家来说这意味着要面对有限的确定性和准确性，即在物理学的纯粹思想和认知中也会有一个边界。这个边界的一个组成部分事实上就是作为研究者本人的科学家或者那个爱因斯坦不喜欢的海森堡不确定性原理。

在没有自洽工具的情况下，基本粒子的所有理论，包括夸克理论和大统一理论，本质上都可能缺乏足够的数学工具来描述那些凭借先验性直觉和实验观察所表现出来的矛盾，这也许涵盖了量子理论本身、暗物质和暗能量相关的研究。然而自然界只能是它的本来面目而已，自然界存在本身就是完备性的证据，即使我们所发展的数学理论碰巧在一定时间内对已知的物理现象能够准确地进行说明，但这也并不意味着我们可以获得永恒的真理。

但爱因斯坦还是说了，自然最神奇的地方是它可以被理解。

有趣的是，虽然不得不承认哥德尔限制了我们发现数学和科学真理的能力，但这也将确保科学可以永远持续下去。哥德尔证明纯数学世界取之不尽，用之不竭。没有有限的公设和规则推论可以涵盖整个数学，给定任何一组公设，我们总可以找到这组公设规定的系统内有意义但没有答案的数学问题。因此也需要不断扩展我们的认知来寻找新的答案。我希望类似的现实情况也存在于物质世界中。如果我对未来的看法是正确的，那就意味着物理学和天文学也是取之不尽，用之不竭的。无论我们走向未来多远，永远都会有新事物发生，新信息进入，新世界被探索，从而不断扩大人类的生活、意识和记忆。

科学界的乐观主义者把哥德尔不完备定理看作是科学研究永无止境的基本保障。他们将科学研究视为人类精神世界的重要组成部分。如果科学研究有哪些终极的方法可以彻底完成，那将对人类的精神世界产生灾难性的影响。与悲观主义者相比，乐观主义者将哥德尔解释为他确定了人类的思想无法全部知道自然的秘密，可能甚至是无法知道大部分的秘密。我们所认知的恐怕永远是自然的一小部分，未知的才是更大的部分。

哥德尔自己的观点倒有点让人出乎意料。他认为我们在看到数学和科学的真理时所依赖的直觉工具，有朝一日也会被新的工具来认知，从而成为像逻辑一样稳定的工具性知识。“我没有看到任何理由让我们对这种认知能力缺乏信心。数学直觉，不仅仅是猜想，它促使我们建立起物理理论，并让我们期望在不远的将来可以认识这些不可判定的直觉的来源。就今天而言，相信这些不能被判定的问题存在的合理性是有意义的，它们可能会在将来成为可判定问题。

在物理研究实践中，哥德尔不完备会导致什么样的问题？我们已知的物理理论，几乎可以对各种各样的情况做出准确的预测并解释观察到的现象。几十年来物理学家所追求的“大统一模型”，有一天，我们可能会对它的无能为力感到惊讶，它不可能在它的框架内容纳它想统一的问题。

大统一理论致力于提供粒子物理中的统一理论。这些理论的早期版本有说中微子必须具有零质量的特性。现在，如果观察到中微子有质量非零的，那么我们就知道了新的情况不能适应我们原来的理论。我们会遇到某种不完备的情况，但我们可以通过延伸或回应它来修改理论以包括新的可能性。因此，在实践中，不完备看起来预示着理论上的不足。

一个同样有趣的问题是有限性问题，关于宇宙的体积是否有限以及自然的基本粒子（或者最基本的可能实体）数量有限或无穷大。宇宙的物理可能性是有限的，虽然数字上可以很大。但是，无论如何物理规律所指的原始数量的大小，只要它们是有限的，由此产生的相互关联系统将是有限的。我们应该强调这一点，虽然我们习惯性地认为空间和时间是连续的，这只是一个非常方便使用简单数学的假设。人们相信空间和时间是连续的，不是离散的；然而在最基本的微观层面，量子引力理论假设时空并不连续：它引入了时空的离散性。奇怪的是，如果我们放弃这种连续性，时空结构就会变得无限复杂，因为连续函数可以通过它们的值来定义有理数，但离散的时空却不能。毫无疑问，我们可以方便地使用已有的数学结构并使用无限的概念，但这可能是一个为了看起来方便而做的数学近似。

数学家阿尔弗雷德·塔尔斯基（Alfred Tarski）表明，与皮亚诺算术规则中所要求的加法和乘法不同，只有数学加法或乘法下的一阶理论是完备的。这是相当令人惊讶的，可能会给物理学理论带来一些希望，基于实数或复数和简单算法规则可以逃避理论的不可判定性。塔尔斯基也继续展示了许多在物理学中使用的数学系统，如晶格理论、投影几何、阿贝尔群理论是可判定的，而其他的数学系统，尤其是非阿贝尔群理论不是可判定的。尽管物理学家似乎很少考虑到这些结果对最终物理理论发展的影响，但我们不能完全排除一种可能性：深层结构宇宙可能植根于比算术更简单的逻辑，因此它是自然完备的。像我们前面讨论过的，底层结构包含可以只有加法或乘法但不是两者兼而有之构成的一个完备的算术体系。或者，利用现实的基本结构——几何变量的简单关系，或者来自“大于”或“更小”的简单关系——比较关系，或它们的微妙组合都可以保持系统上的完备。事实上，爱因斯坦的广义相对论取代了许多像力这样的物理概念，使用了曲面的时空结构，依赖于黎曼几何的相对简单的完备性，从而回避了代数所带来的更复杂的完备性问题。

还有另一个重要方面需要考虑。即使逻辑系统本身是可判定的，它也总是包含无法证实的“真理”。这依赖于选择哪些公设来定义系统。在公设被选中后，所有的逻辑系统能做的就是从中推断出结论。在简单的逻辑系统中，如皮亚诺算术，公设的合理性似乎相当明显，因为我们正在回溯和审视，从而形式化我们几千年来一直在直观地做的事情。物理学的公理或定律是物理研究的主要目标，它们绝不是直觉明显的，因为它们所影响的范畴可能远远超出我们经验的结果，这些规律在很多情况下是不可预测的。譬如涉及对称性的自发破缺，这个是杨振宁和李政道获得诺贝尔物理学奖的发现。它至少表明数学上的优美对称和数学所希望的自洽而完备，未必是自然界的样子，我们只能适应它，而不能用我们觉得好的工具来规范它。它也表明，从实验结果中推断出规律并不是我们通过逻辑推演或者数字计算等依赖于计算机程序的方法所能完成的事情。它需要人接受已有的自然事实，通过判断和适当的抽象得出易于理解的数学模型。

因此，我们在形式系统的研究中发现了一种完全不同于物理的科学。在数学和逻辑学中，我们首先定义一些公设和系统法则。然后，我们可能会尝试在维持其自洽性的前提下，从公设中推导出尽可能多的定理。在科学方面，我们不能自由地选择公设体系。我们正在努力寻找系统规则和公设，尝试用一个或多个公设最终可能产生我们看到的结果。正如我们之前强调的那样，我们希望总能找到一个系统，它将产生符合观察结果的规律。虽然这是一套被逻辑学家和数学家重视的无可辩驳的叙事方式——公设和演绎法则，但科学家更感兴趣的是发现而非简单假设。人类不止一次地希望出于某种原因只有一套可能的和合理的公理或物理定律。到目前为止，这似乎并不容易存在——即使这也是我们无法证明的。

物理学家对对称和美学有过执着的追求，尤其是理论物理学家希望在对称和美的要求下宇宙能够受极少数定理的约束，简单和对称的法则就能产生无限数量的高度复杂的形态。然而，不对称的状态似乎才是自然的本来面目——我们自己就是其中的一种，我们所生活的宇宙恐怕也是。因此，没有理由担心哥德尔的不完备定理会令人沮丧，我们依然会期待寻找自然法则的数学描述。自然的基本规律来源于弱作用力、强作用力、电磁力和引力，它们都是通过被称为局部规范的理论来维持特定的数学对称。随着这些力变得统一，涉及的对称性数量将减少，直到最终可能只有一个完美的对称性决定了自然法则的形式——一个解释一切的理论，其中超弦理论是可能的候选。自然法则应该在一个真正意义上“简单”和高度对称，但它是什么我们并不知道。最终的对称的理论应该足够丰富、拥有许多属性，这样才能容纳所有的基本力的表现形式。没有理由说哥德尔不完备定理应该妨碍了我们对这一切的追求，包含对控制自然法则的对称性的追求。但我们依然要怀疑这种天生的对称性的正确，正如对称性也自然地发生了破缺，还并没有更深层的理论来解释这种不对称。对于超弦理论，当今的物理实验无法检验其真伪，这也给这个理论最终获得认可提出了致命的问题。

每一次物理学的进步都伴随着新的数学工具的出现和使用。第一次物理革命是力学革命，需要研究的物理现象是天体的运动。牛顿不仅要发明他的万有引力理论，而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的理论。第二次物理革命是广义相对论，爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这种新物质。第三次物理革命是量子革命，这次革命揭示出，我们世界中的真实存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。这种莫名其妙却又真实的存在，可以用量子力学来解释，而量子力学则是建立在数学中的线性代数和群论的基础之上。

但最近二十年来，尤其是量子计算和量子信息的发展，加深了我们对量子力学的认识。量子信息中所涉及的多体量子纠缠，正是我们既说不出来，无法描述，又没有名字的新现象。人们因此正在发展一套新的数学理论作为工具。

这次正在进行中的物理学新革命是非常深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子和所有的相互作用，甚至时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态，以及量子计算中的拓扑量子计算，都是多体量子纠缠的应用。正是通过这些物理研究，我们发现了多体量子纠缠的重要性，并引入了长程量子纠缠这一相关概念。

完美主流的几何的眼光，并不一定是认识世界的正确方法。从量子革命以来，我们越来越意识到，我们的世界不是连续的，而是离散的。某种意义上，建立在几何思路之上的广义相对论、规范场论、量子场论太对称而完美了，以至于让我们误以为它抓住了宇宙的本质，误导了我们。

近代数学发展的也正是从连续到离散、从分析到代数的趋势，也提出了离散的代数是比连续的分析更本质的观点。20世纪60年代由格罗滕迪克（Grothendieck）学派发展出来的代数几何理论正是这种思想的代表，代数几何可以看作是实现了连续和离散的统一的几何理论。这和物理学从经典到量子的发展对应。而实现统一的语言当然是代数的，这有可能是一个超越了集合论的、全新的数学语言，也是代数几何的基础语言：范畴学。在范畴学中，人们不再试图把物体分成更小更简单的基本构件，甚至不去考虑物体的内部结构，人们试图通过这个物体和其他所有物体的关系和作用，来了解这个物体。这些关系正代表了这个物体所有可能的性质，一个物体的所有可能性质，也就完全定义了这个物体本身。而物体这一抽象的概念，以及物体所有可能的性质，是由这一堆关系来定义的。这就是范畴学的精神。

我们可以通过一个有意思的问题把数学的可解问题和物理连接在一起。在狭义相对论中我们提到了“孪生子悖论”。假设两个双胞胎有不同的职业，弟弟留在地球上，而哥哥在一架太空船中以接近光速的速度飞走了。当他们最终重聚时，相对论预测哥哥会发现弟弟更老了。这对双胞胎在太空中经历了不同的职业生涯和时间，哥哥经历的加速和减速使他更为年轻。我们是否可以将计算机送到如此极端的旅程中以便完成当哥哥返回其出发地时，做无数次操作？如果哥哥可以充分加速他的宇宙飞船，他可以在自己的时钟上记录有限数量的宇宙历史，而他的双胞胎在他的时钟上记录了更长的时间。如果可以通信的话，他们是可以把不可解的问题的答案相互传递的。这时候弟弟可以在地球上建造一台够大的机器做足够的计算，然后通过发送信号来代替哥哥在他所在的飞船上的有限时间内的操作。哥哥需要解开一个利用大数分解加密的密码，他把这个问题发送给弟弟，弟弟用地球上的计算资源解开这个问题，需要10年，解出来之后，再把问题的答案发送给哥哥，由于哥哥的时间比较慢，所以事实上他不需要等待10年。同样的办法，面对一个超级计算任务，哥哥有可能通过直接搜索决定。图灵的不可计算的操作，甚至是一大部分停机问题，可以在一个有限的时间内转化成为一个查表的工作。这真的有可能吗？这样我们就做了一台相对论计算机。

这个计算机有一个小问题。在爱因斯坦的理论中没有信息传输的速度可以比光速更快，光和引力不可能变得任意强大。人们也不能任意地将时间延长，黑洞的“事件视界”保证了如果我们寄希望于无穷长的时间，一个拥有无穷长计算时间的机器并不能向黑洞外发送信息，计算结果我们还是拿不到。但这并不意味着所有相对论计算机都要被禁止。爱因斯坦时间的相对性是对所有观察者的要求，相对论计算机开辟了一些有趣的在有限时间内的任务新可能性。这似乎允许在某些时空，人们可以通过发送计算机直接搜索的结果来回避某些哥德尔不可判定问题，可以向计算输入端发送问题的答案。一个时空和另外一个时空的问题列表之间有一个简洁的一对一对应关系以及使参与者决定改变逻辑计算的复杂性。

对自然界物理规律而言，我们从未“看到”自然法则：它们是柏拉图式的表述，它们是我们对自然界观测的一种萌生于人脑并在科学共同体中达成共识的表达。但，我们可以声称我们见证了这些自然法则的结果。这是一个重要的区别，因为结果与作用于它们的规律不同。自然界不一定选择对称，正如哥德尔所指出的，语法无法完全代表语义，自然界的复杂性存在且不需要具备我们希望的完美和对称。这很幸运，因为如果它不是这样，我们不可能存在。如果自然法则要求完整的对称性就没有任何事情可以发生。19世纪最让物理学家担心的一件事情是热寂，根据熵增加原理，宇宙最终演化到没有特殊的时间和地点的结构，没有方向不对称，任何时刻都没有发生任何事情，一切都是不变的、空洞的。

从芝诺开始，在许多方面古人受到无限的悖论的挑战。图灵关心哥德尔不完备的现实问题，思考是否有可能建立一个可以执行的“无限机器”，在有限的时间内完成无限的任务。当然，这个简单的问题需要一些澄清：“可能”“任务”“数字”“无限”“有限”究竟是什么意思？牛顿力学则允许无限机器的存在，比如我们前面讲到的支在一个无穷大桌面上的无穷长的杆子，但相对论至少限制无限机器的功能，因为没有哪些信号可以以无限的速度行进。哥德尔不完备定理没有限制任何在物理学的整体范围内对自然规律的理解。物理学利用数学，大自然利用的东西可能比算术所用的东西更少、更简单。

在标准的实证论科学哲学看来，物理理论曾经毫无心理障碍地无偿居住在柏拉图式理想数学模型的天国中。人们相信，一个模型可以任意程度地详细，可以包含任意多量的信息，而不会影响它所描述的宇宙本身。但我们不是上帝，我们不能从外面观察宇宙。相反，我们和我们的模型两者都是我们所描述的宇宙中的组成部分，因此一个物理理论包括人类对我们生存的宇宙的认知都是自指的，就像哥德尔不完备定理所说的那样。人们因此可以认为它或者是不自洽的，或者是不完备的。这样说来，我们迄今所有的物理理论也可能既是不自洽也是不完备的。

总之，哥德尔不完备定理还是引发了探索数学逻辑和物理现实世界关系的新问题，它不应该证明我们寻求和探索自然的好奇心只是为了消耗我们多余的热情：哥德尔不完备定理并没有限制人类对问题和假设的探寻。

我们也应当注意这样一个事实：只有当我们知道机器运算规则自洽的时候，哥德尔论证才适用。但人类本身可能就是不自洽的，因此，不自洽的机器可能是人类思维的更合理的描述。牛津数学家戴维·卢卡斯说，尽管人类在某些情况下不自洽，但这与形式系统中的不自洽性并不相同。形式系统允许其内部的每个句子被判定真伪。然而，当人类得出矛盾的结论时，他们并不坚持这种矛盾，而是试图解决它。在这个意义上，人类是自我纠正的。自我修正机仍然会受到哥德尔论证的影响，但可以是一台根本不自洽的机器。

卢卡斯在总结自己的文章时指出人类思维的特征属性是走出有限系统公设的能力。他认为，思想并不局限于在一个形式系统中运作，它们可以在系统之间切换，不仅在推理系统中而且也在推理推理系统的事实。另一方面，机器是被限制在一个它们无法逃脱的形式系统中运作的，人工智能并没有超越这一点。因此，他认为，正是这种能力使人类思想本身与机器不同。对数学而言，自洽的要求是不能被放弃的，因为不自洽的理论可以推导出任何结论。所以我们只好接受理论的不完备性。这对于科学界来说是个莫大的好处。

不管怎么说，我们深刻地认识到了不完备带来的震撼。因为不完备的存在，逻辑机器和建筑在它之上的人工智能算法只会成为完善我们知识体系的工具，而不会带来超越我们所给出的有限假设所设定的新的认知。新的认知需要我们跟自然界接触，认识到现有知识体系的局限。这局限体现在有一些问题即使我们知道是真实的，但以现有的理论知识我们一样无法去证明它们。我们需要增加额外的假设，来使现有的假设体系能够描述这一内容。但一旦这样做了，我们马上又会面临新的困境。因为即使加入了一条新的假设，它与原来的假设一起又是一个新的有限假设体系，一样会在什么地方出现在这个体系内无法证明的命题。如果我们大胆地认为我们的描述是具有普适真理性质的，那么我们立刻会遇到困境。

世界观和认知习惯的改变

在这本书里，我们把牛顿影响下的思想方法体系叫作经典体系或牛顿体系。进入20世纪之后，物理学和数学，甚至哲学（如果它还顽强地活着的话），都有了很大的变化，我们姑且把它叫作现代体系或哥德尔体系。现在我们大致上处于从古典体系过渡到现代体系的中间，但如果你考虑哥德尔的话，即使这么说，都是有问题的。我们无法定义自己的现在是现在。它并没有结束，在可预测的明天也不会结束。我还是喜欢把自己看作是一名物理学工作者，骨子里觉得数学是人文科学。但我愿意把在20世纪产生的新思想体系的冠名的地位给哥德尔，而不是给我们的“老祖宗”牛顿，或者我的直系师祖们，虽然他们开创了量子力学的时代。而且在我的另外一本书《量子大唠嗑》里，我确实在强调量子力学改变了我们对人类认知的看法。