人工智能伦理

图4.51 利用符号计算工具Maxima进行数学实践。例如，证明李善兰恒等式，求解递归方程 $( n + 4 ) \ T ( n + 2 ) = - T ( n + 1 ) + ( n - 1 ) \ T ( n )$ ，计算级数和不定积分

4.1.3 模型的多样性

英国统计学家乔治·博克斯有一句名言，“所有的模型都是错误的，但其中有一些是有用的”。不能指望某个模型是终极真理，人类探索自然的路没有尽头。如果A模型能做的事情B模型都能做，而且B还能做A做不了的，那么B模型更受青睐。科学理论的新旧更替，总是解释能力变得更强。

例4.16 1905年，阿尔伯特·爱因斯坦 发表论文《论动体的电动力学》，否定了艾萨克·牛顿 的绝对时空观，基于狭义相对性原理和光速不变原理这两个假设，他发展出一种新物理学——狭义相对论（special relativity theory），使得牛顿力学成为它的特例。

图4.52 牛顿力学是狭义相对论在低速时的近似

经典力学所能解释的全部物理现象，甚至它不能解释的一些物理现象，在狭义相对论的框架里都可以得到解释。于是，狭义相对论得到了广泛的接受，成为现代物理学的基础之一。

另外，简洁性是数学美感之一，它追求清晰、直观、精准的表达，也常当作挑选模型的标准。

例4.17 古罗马数学家、天文学家、地理学家、占星家克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy, 100—170）是“地心说”的提出者，在古希腊古天文学成就的基础上，他著有十三卷的《天文学大成》。直到文艺复兴时期，波兰数学家、天文学家尼古拉·哥白尼提出“日心说”（临终前发表著作《天体运行论》），“地心说”统治了天文学1 300多年。

图4.53 在拉斐尔·桑蒂（Raffaello Santi, 1483—1520）的壁画《雅典学派》中，手持地球仪背对观众者是托勒密，他的“地心说”千年之后被哥白尼的“日心说”取代

宇宙没有中心，选择地球或太阳为中心（即参照系原点），理论上都是可行的。然而，这两个模型的复杂度是不同的——托勒密的偏心圆和本轮理论非常复杂⁽²⁾，相比之下“日心说”要简单许多。按照“奥卡姆剃刀”原则，复杂的模型先被剔除。

有图有真相，直觉方法常常是简单明了的。对人来说如此，对机器而言就难说了。机器的“直觉”如何定义，至今仍看法不一。下面以勾股定理为例，看一看人类是如何直观地发现这一美妙结果的。

例4.18 勾股定理（也称为“毕达哥拉斯定理”）的最简洁的证明，是中国古代数学家在西汉时期的天文历算著作《周髀算经》中通过《勾股圆方图》给出的。

图4.54 东西方对勾股定理的不同表述方式。左图是《周髀算经》里对勾股定理的“图证”——无言的证明，右图是勾股定理的内容

据《周髀算经》记载，公元前1 000多年，周公（西周初期）曾向大夫商高（西周初期）讨教古人如何测量，商高介绍了“勾股测量术”，并举例“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。

图4.55 公元前18世纪，一块古巴比伦泥板（现存哥伦比亚大学）记录的最大的一组勾股弦是（12 709,13 500,18 541），或许更早人类就发现了勾股定理

《周髀算经》明确地以应用方式陈述了勾股定理——“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。 2

“勾”“股”是直角三角形的两直角边的边长，“弦”是斜边边长。勾股定理陈述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。其中，“弦实”就是以“弦”为边的正方形（见图4.54）。

一图胜过千言万语，《周髀算经》没有给出勾股定理的文字证明，可能觉得《勾股圆方图》太直观了，没必要再啰唆。赵爽（三国时期）的《勾股圆方图说》（见其著作《周髀算经注》）补上了文字说明，“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”。

“朱实”就是图4.54中的直角三角形，“中黄实”是中间的小正方形。赵爽的证明翻译成现代数学语言就是，令“勾”为a，“股”为b，“弦”为c，则

$$
2 a b + \left( a - b \right) 2 { = } c ^ { 2 }
$$

“条条大路通罗马”，解决问题的方法往往不是唯一的。为什么《周髀算经》没有记载勾股定理的证明方法？或许，中国古代数学家并不是用代数方法，而是用纯几何的方法直观地得到勾股定理。我们猜测祖先的做法是将四块三角形和一块小正方形重新拼接（见图4.56）而得到一个边长为b的正方形和一个边长为a的正方形。