人工智能伦理

57TH INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD 2016

图4.76 证明定理不等同于发现定理，数学教育多侧重前者，而忽略了后者的训练

计算机测量线段长度可以精确到像素级别。经过在几个随机生成的三角形上的验证，利用合情推理基本可以确信“塞瓦定理”是成立的。“验证”和“证明”是两个不同的过程，机器天生地比人类擅长前者。

如果把知识的使用抽 $S { \stackrel { a \in \mathcal { A } } { \to } } S ^ { \prime }$ 象为行动空间（也称动作， S空间） 把前提和推论抽象为状态空间 的点 $S , S ^ { ' }$ ，证明就是用一些构建一个因果链条。人类通过学习几何定理的证明，不仅获取了该定理所陈述的几何知识，更重要的是学会了证明方法。开始可能是“照葫芦画瓢”，随着经验的积累和总结，逐渐形成了“思维记忆”，类似于体育锻炼的“肌肉记忆”。这${ \bf \Sigma } _ { \underline { { { \scriptstyle M } } } \underline { { { \bf { \Sigma } } } } } S \stackrel { a \in \mathcal { A } } { } S ^ { \prime }$ 就是证明方法的样本，它们对于学习几何学来说是至关重要的。

我国数学家、教育家苏步青（1902—2003）曾回忆，“我在1924年当学生的时候，曾经做过一万道微积分的题目。我为什么要做这样多的题目呢？当时我是这样想的：要真正学到手，只学一遍恐怕太少，一定的重复是很有必要的”。如今，利用符号计算（也称计算机代数）工具，很多微分和积分的计算可以通过机器来完成。研发更聪明的机械化数学系统，是人工智能的艰巨任务。一旦专家的知识和技能被固化下来，人类的进步速度会大大地加快——知识不再被尘封在故纸堆中，也不会随专家的离去而消失。

元规则与结构

机器学习的目标是行为主义的“刺激—反应”模式，还是结构主义的“基本关系”组合？应该说二者兼有。“刺激—反应”是低级动物都适用的模式，而“基本关系”必须在一些经验的基础上抽象而得。

形式主义和结构主义对数学知识的理解是不同的。以德国数学家大卫·希尔伯特为代表的形式主义，把数学知识建筑在公理系统之上，舍弃掉数学对象的具体内容，以便使得形式演绎系统获得最大的适用范围（见“希尔伯特计划”）。

形式主义区分了数学和元数学（metamathematics），这对数学、计算机科学、哲学的影响是巨大的。数学是人类理性思维的工具，元数学将数学作为研究对象，是“数学的数学”。元数学涉及数学哲学、数学基础，它是数学的“道”。

图4.77 元数学是有关数学的数学，哥德尔不完全性定理是其中的经典结果之一

20世纪，元数学（或数理逻辑）诞生了两个重要的分支——证明论（proof theory）和模型论（model theory），粗略地讲，前者研究和分析数学证明的“句法”（例如亚里士多德的三段论、欧氏几何中的演绎推理方法等），后者研究数学语言的“语义”——在给定的数学系统中什么是可证的（即形式语言表达的可能性）以及用这种语言定义的结构类。20世纪初的数学基础之争是数学哲学的大碰撞，事实证明，形式主义、逻辑主义、直觉主义深刻地影响了计算机科学的发展。例如：

口 20世纪50年代末，美国语言学家诺姆·乔姆斯基受到形式主义的影响而提出四种形式文法（formalgrammar），直接影响了计算机科学中的编程语言（programming language）及其句法分析（syntacticanalysis ） ， 也 催 生 了 句 法 模 式 识 别 （ syntacticpattern recognition）理论——机器学习的前身。

口 美国计算机科学家、1978年图灵奖得主罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd, 1936—2001）的论文《赋予程序意义》（1967）^[80]开创了编程语言的形式语义学（formal semantics）。其主要方法包括公理语义学、指称语义学、操作语义学等。

图4.78 布尔巴基学派的精神领袖迪厄多内

20世纪40年代，涵盖了大量数学对象的抽象数学结构，如群、环、域、范畴、向量空间、拓扑空间等，被数学家加以系统化的研究，取得了丰硕的成果。对数学知识进行结构性的梳理这一诉求，被形式主义的继承者——以结构主义为哲学理念的布尔巴基学派提上日程。其代表人物之一、法国数学家让·迪厄多内（Jean Dieudonné, 1906—1992）曾说，该学派“原来的产生是为了以细致和完备的方式阐明所谓‘形式主义’数学家的实践”。

布尔巴基学派比希尔伯特走得更远，对数学结构的过分关注让纯粹数学离开应用的土壤越来越远。布尔巴基学派比较忽视概率论、计算数学、动力系统、理论物理、应用数学等。1986年，美国数学家、物理学家罗伯特·赫尔曼（Robert Hermann,1931—2020）在《数学与布尔巴基》一文中指出，“布尔巴基的传奇兴起于量子力学繁盛的时期，在达到其全速发展的时期，正是爱因斯坦的几何学引力理论被最终理解，基本粒子物理开始散播……许多核心数学正在通过系统、控制和最优化理论整合到工程和经济学当中的时代，然而这些发展却没有在他们的文献中留下一丝痕迹”^[81]。

形式主义和结构主义的初衷都是好的——想让数学的适用范围更大。然而现实是，越抽象越曲高和寡，越应用越价值凸显。结构主义走到一定程度便可以适可而止了，需要用应用来丰富它的内容，然后是新一轮的螺旋式上升。评判数学的好坏有一个基本原则，没用且无美感的数学一定不是好数学。按此评判原则，布尔巴基的数学绝对是好数学，它是现代数学发展中非常重要的一环。不过，计算机科学对数学抽象结构的消化还需要一些时间。

熵的增减

1850年，德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（RudolfClausius, 1822—1888）提出热力学第二定律（second law ofthermodynamics）⁽⁴⁾，即孤立系统总是趋向于熵最大的状态，这个定律也称作“熵增定律”。

英国物理学家亚瑟·斯坦利·爱丁顿（Arthur StanleyEddington, 1882—1944）在著作《科学的新道路》（1935）里对熵增定律有一段生动的评价，“我认为，熵增定律是自然界所有定律中至高无上的。如果有人指出你的宇宙理论与麦克斯韦方程不符，那么麦克斯韦方程可能情况更糟。如果发现它与观测相矛盾，好吧，实验者有时也会出错。但是如果你的理论违背了热力学第二定律，我敢说你没救了，它只能在颜面扫地中垮掉”。

图4.79 爱丁顿坚信熵增定律是最基本的物理法则

在热力学和信息论中，熵（entropy）描述了系统混乱的程度。我们可以把学习的过程理解为知识系统熵减的过程，越博学其知识熵（knowledge entropy）越小。考试可视作检测某个领域的知识熵，虽然“懂得”和“会用”是两回事，但为了方便起见，这里近似地把二者等同。