人工智能伦理

图4.84 代数拓扑与微分拓扑（圆形节点）和其他数学分支的关系

正因为新理论带来了更多的新概念，所以人类的知识之树才得以继续生长。例如，在经典力学中，万有引力是超距作用（action at a distance），即以无限大的速度传播。而广义相对论限定了引力相互作用的传播速度为光速，它预言时空突然扭曲时（如双黑洞合并、双中子星合并）会引发引力波（gravitational wave）事件。这个现象已经被观测到，再一次证明了广义相对论的合理性，同时“引力波”这一概念也正式地进入物理学的知识体系。

图4.85 （左图）牛顿万有引力是超距作用，所以没有引力波的概念。

（右图）1916年，爱因斯坦根据广义相对论预言了引力波（即宇宙里的时空涟漪）的存在。2015年，人类第一次直接观测到引力波

人工智能急需数学理论的支撑，但现有的数学中似乎没有合适的工具能令棘手的问题迎刃而解。布尔巴基学派创始人之一、1979 年 沃 尔 夫 奖 得 主 安 德 烈 · 韦 伊 （ André Weil, 1906—1998）曾在报告《数学的未来》（1948）中坦言，“当一个数学分支除了专家以外都不能引起任何人的兴趣时，它就几乎濒于死亡，至少是危险地接近于瘫痪，而要想把它们从这种状况中解救出来的唯一办法，那就是把它们重新浸泡到科学的生命源泉中去”。认知计算（cognitive computing）的形式化呼唤新型的数学，应用数学家或许应该把注意力放到更实际的诉求上。

构造主义

图4.86 布劳威尔

1907年，荷兰数学家、哲学家鲁伊兹·布劳威尔（LuitzenBrouwer, 1881—1966）在他的博士论文《论数学的基础》中明确提出了直觉主义(intuitionism)的数学哲学，从而成为直觉主义数学的代表人物之一。直觉主义认为所有概念从根本上都来自感官直觉，任何数学对象都是思维构造的产物，因此它的存在性就是可构造性。直觉主义的一个显著特点是反对在数学推理中使用排中律(law of excluded middle)^(6)[83]。他的学生阿兰德·海廷（Arend Heyting，1898—1980）奠定了直觉主义逻辑（或构造性逻辑）的基础^[84]。关于数学基础，布劳威尔和希尔伯特之间有多年的激烈论战，后者的学生赫尔曼·外尔（HermannWeyl，1885—1955）甚至皈依了直觉主义，站在布劳威尔一边反对老师，希尔伯特为此耿耿于怀。另外，德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823—1891）和法国大数学家、物理学家、哲学家昂利·庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）也都是直觉主义的先驱。

直觉主义深刻影响了20世纪数学的发展，特别是构造性数学（constructive mathematics）的崛起^[85][86][87]。随着计算机科学的发展，构造主义的数学思想在20世纪中叶开始流行。1967年 ， 美 国 数 学 家 埃 雷 特 · 毕 晓 普 （ Errett Bishop, 1928—1983）出版了著作《构造性分析基础》^[88]，但大多数数学家并不为其所动。“正如所写，这本书是面向人而非面向计算机的。有一个面向计算机的版本将是非常有趣的。

构造主义的信条是“存在就是被构造”，比较符合对人工智能数学基础的要求。面向计算机的构造性数学就是“机器的数学”，它和“人类的数学”可能有着明显的差异。例如，一个几何定理的证明，人类给出的和机器给出的可以完全不同，甚至二者的推理模式也是迥异的，但并不妨碍人类和机器对数学真理达成共识。

图4.87 吴文俊

我国著名数学家吴文俊（Wen-Tsün Wu, 1919—2017）在20世纪70年代后期倡导“机械化数学”，他认为它符合中国古代数学算法化的传统。“什么叫做计算机科学？其实研究的是算法，就是中国古代所谓的‘术’。它的丰富多彩已经得到充分的认识，计算机科学说穿了就是算法的科学。”

吴文俊先生认为计算机科学与数学的结合是千载难逢的良机。“体力劳动机械化，我们没有份，就一落千丈了、挨打了，就与这有关系；现在脑力劳动机械化你不能错过，错过了这个机会就永世不得翻身，这是我一直坚决强调的，所以我对我的数学机械化寄予了厚望。 99

例4.24 我们把圆周率π定义为圆的周长与直径之比，不难证明它是一个常数。除了原始定义，计算机对π的“理解”还包括快速逼近π的数值算法，例如从连分数的角度理解π。

π=3+ 6+ + 6

$$
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \underbrace { \frac { 1 } { 3 } } _ { \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right\} } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \underbrace { \frac { 1 } { 3 } } _ { \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right\} } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \underbrace { \frac { 1 } { 3 } } _ { \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right\} } } \end{array}
$$

还有其他更快的逼近算法。总之，计算机对π的“理解”可以比人类更丰富，充分发挥它们善于数值计算的特长。然而，这个计算特长是受限的，它只能刻画实数集合中很小的一部分。

1936年，图灵在其著名论文《论可计算数及其在判定问题上的 应用 》^[27] 中 严 格 地 定 义 了 “ 可 计 算 数 ”(computablenumber)，即可由图灵机在有限运行步骤内计算到任意精度的实数。例如，代数数 超越数π,e都是可计算的。因为图灵机是可数的（即和自然数一样多），所以可计算数是可数的，而不可计算数是不可数的。

1975年，美国计算机科学家格里高里·柴廷（GregoryChaitin, 1947— ）给出了一个不可计算数的实例——柴廷常数(Chaitin constant)，通俗地讲，它表示一个随机构造的程序将停止的概率^[89]。

柴廷常数揭示了可定义和可计算的区别，它给我们的启示是：智能机器只有突破图灵可计算的禁锢，具备了构造概念的能力，才有可能接近人类的智能。彭罗斯在《皇帝新脑》一书中，也表达了类似的想法^[7]。