人工智能伦理

图1.113 （左图）人类的语言文字中有多种方式来表示自然数。（右

图）算盘这一计算工具由算筹演化而来，自宋元时期开始流行，至今仍在使用

很多数学概念在自然界有类似之物，如点、直线、平面等几何对象。然而，无穷集合在自然界是不存在的，也没有对应之物。但人们在谈论自然数集合N时，仿佛它是如此真实地存在，就像亲眼所见一样毋庸置疑。偶数集合是自然数集合N的真子集，然而二者之间存在着一一对应，所以偶数和自然数“一样多”。

$$
1 2 3 \cdots n 1 1
$$

$$
\downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \cdots
$$

$$
{ \big ( } { \begin{array} { c c c c } { { \big ) } } & { { \big \{ } } & { { \big \} } } & { { \big \{ } { \big | } } & { { \big | } } \end{array} } \qquad \big \} ( { \big | } { \big | } - { \big \downarrow } { \big ) } \quad \cdots
$$

该结果多多少少令人感到些许意外，部分和整体之间似乎不应该有一一对应的关系，这个经验来自人们熟知的有限集合。尽管如此，逻辑上它是正确的，这是“无限”和“有限”之间的一个关键差异。人们给“和自然数一样多的无穷”一个名字——可数无穷，其元素个数（即基数或势）称作阿列夫零，记作 $N _ { \theta ^ { \circ } }$ 。例如，有理数集合Q是可数的，它总可以按照下面的方式排序，其中重复的元素被删除。

$$
\begin{array}{c} \begin{array}{c} { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 1 } } \longrightarrow { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 1 } } \longrightarrow { \frac { 1 } { 2 } } \equiv { \frac { 1 } { 3 } } \longrightarrow { \frac { 1 } { 4 } } \quad \cdots } \\ { { \frac { 2 } { 1 } } { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 2 } } \langle { \frac { 2 } { 2 } } { \Bigg \{ \} } { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 3 } } } \\ { { \frac { 1 } { 4 } } \qquad { \frac { 1 } { 5 } } { \Bigg \{ \frac { 3 } { 5 } } \Bigg \{ \frac { 1 } { 3 } } \quad { \frac { 3 } { 4 } } \quad \cdots } \\ { { \frac { 3 } { 1 } } \end{array} \qquad } } \\ { { \frac { 1 } { 1 } } { \Bigg \{ \frac { 2 } { 4 } } \qquad { \frac { 4 } { 3 } } \quad { \frac { 4 } { 4 } } \quad \cdots } \\ { { \frac { 4 } { 1 } } \qquad { \frac { 4 } { 2 } } \quad { \frac { 4 } { 3 } } \quad { \frac { 4 } { 4 } } \quad \cdots } \end{array} \end{array}
$$

在数轴上，除有理数之外，还有一些无法表示为有理数的点。例如，找不到有理数 $\frac { p } { q }$ 使得

$\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac { 1 } { 4 } } \\ { 0 } \end{array} \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right) ^ { 2 } . } \end{array}$

证明 如果 $p ^ { 2 } { = } 2 q ^ { 2 }$ ，意味着p是偶数。不妨设 $\scriptstyle { p = 2 r }$ ，则$q ^ { 2 } \mathrm { = } 2 r ^ { 2 } ,$ ，意味着q也是偶数。与p,q互素的假设矛盾！

可以想象，当古希腊毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯（Hippasus, 前530—前450）首次发现这个事实的时候，他该是多么地惊愕——这与该学派笃信有理数的教义相悖。希帕索斯因为泄露了“天机”而死于同门之手，然而真理是无法被扼杀的，人类对数系的认知终于提高到了实数域R。

无穷的概念

对实数的严格定义，直到1872年才由德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind, 1831—1916）给出。从希帕索斯发现无理数到实数概念的严格化经历了两千多年，可见一个概念的形成往往不是一蹴而就的。

图1.114 “戴德金分割”是实数的数学定义，远远滞后于人类的直觉

类似“一样多”，“不少于”和“多于”的概念也可由一一对应来定义。

如果集合A和B的一部分有着一一对应关系，则称B的元素不少于A或者A的元素不多于B，记作 $| B | \geq | A |$ 或者 $| A | \leqq | B |$

口 如果 $| B | \geq | A |$ ，并且二者之间不存在一一对应，则称B的元素多于A或者A的元素少于B，记作 $| B | > | A |$ 或者 $| A | < | B |$ o

找到可能的映射关系和验证它是两件事情，前者靠直觉想象，后者靠逻辑推理。例如，有理数和无理数之间是否存在一一对应？当现代集合论的奠基人、德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor, 1845—1918）利用对角论证法证明实数不可数，进而说明无理数比有理数多、无理数和实数一样多的时候，对传统数学和哲学的冲击，令很多人一时间接受不了，德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker,1823—1891）便是其中之一。克罗内克终生强烈反对康托尔的集合论和实无穷（actual infinity），他有句名言，“上帝创造了整数，其余都 是 人 的 工 作 ” ， 深 深 地 影 响 了 数 学 中 的 构 造 主 义（constructivism）思想。不过，数学伟人大卫·希尔伯特（David Hilbert,1862—1943）却针锋相对地力挺康托尔，“没人能够把我们从康托尔建造的乐园中赶出去”。如他所愿，集合论现已成为数学的基本语言。