人工智能伦理

$$
\begin{array} { r l } & { \mathbb { I } _ { 1 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| \lambda _ { 1 } \| ^ { 2 } \ \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 1 } \ \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \ \cdots } \\ & { \mathbb { E } _ { 2 } = - \lambda _ { 2 } \| \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \mu _ { 2 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 2 } ^ { 3 } \ \cdots } \\ & { \mathbb { E } _ { 3 } = - \lambda _ { 3 } \| \ \lambda _ { 3 } \| ^ { 2 } \ \lambda _ { 3 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 3 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 4 } ^ { 3 } \ \cdots } \\ & { \mathbb { I } _ { 4 } = - \lambda _ { 4 } \| \ \lambda _ { 4 } ^ { 3 } \mu _ { 2 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 4 } ^ { 3 } \mu _ { 4 } ^ { 3 } \lambda _ { 5 } ^ { 3 } \ \cdots } \\ & { \mathbb { E } _ { 3 } ^ { * } = - \lambda _ { 2 } ^ { * } \| \ \lambda _ { 4 } ^ { * } \| ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 3 } \ \lambda _ { 5 } ^ { 3 } \lambda _ { 6 } ^ { 3 } \lambda _ { 5 } ^ { 3 } \cdots } \\ & { \vdots } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \end{array}
$$

图1.115 康托尔证明闭区间[0,1]上的实数不可数的对角论证法：假设[0,1]上的实数可数，则可依次排序 $x _ { I } , x _ { 2 } , \cdots$ 。构造小数$\ - 0 . \ y _ { I I } y _ { 2 2 } y _ { 3 3 } \bullet \bullet \ -$ ，其中 $y _ { i j } { = } x _ { i j } { + } 1 \mod 1 0$ 。显然，y并不在这个序列之中，与原假设矛盾。因此，[0,1]上的实数比自然数多

20世纪初，产生了一些以不同哲学为基础的集合论公理体系^(16)[26]。如今，在人们的理念中，像实数集合R这样的实无穷，跟它们的邻居一样真实地存在着。

定义1.2 若一个实数 $\chi \in \operatorname { R }$ 是某个次数有限的整系数代数方程的根，则称x是代数数（algebraic number），否则称x是超越数（transcendental number）。例如， $\sqrt { 2 }$ 是 $x ^ { 2 } - 2 = 0$ 的根，而圆周率π不是任何次数有限的整系数代数方程的根。

显然，代数数包含所有有理数和一部分无理数。因为全体次数有限的整系数代数方程是可数的，康托尔在论文《有关所有实代数数类的一个性质》（1874）中略施小计便证得代数数是可数的，而超越数和实数一样多，即超越数多于代数数。康托尔的这个结果也震惊了当时的数学界，要知道，德国数学家费迪南德· 冯 · 林 德 曼 （Ferdinand von Lindemann, 1852—1939）于1882年费尽心思才证得π是超越数。那时，人们对超越数的存在性知之甚少，“胆大妄为”的康托尔连一个超越数都没构造就说它们比比皆是，怎能不引起地震。

例1.24 康托尔证明了，集合A的幂集合（power set）⁽¹⁷⁾的势一定大于A的势，即

与实数一样多的无穷被称为“连续统”（continuum），它的势记作c。利用下图所示的映射，不难看出单位闭区间I=[0,1]上的实数与整个实轴上的实数一样多。

图1.116 把闭区间[0,1]弯成半圆，它与实数域

间存在着一一对应，如图所示。其中，端点A,B分别映为 $- \infty , + \infty$

1878年，康托尔好奇地问：在 $\aleph _ { 0 }$ 和 $2 ^ { \aleph _ { 0 } } = { \mathfrak { c } }$ 之间是否还有其他等级？他认为不存在一个集合，它的元素多于自然数N而少于实数R。即，不存在集合S使得

这 就 是 著 名 的 猜 想 —— 连 续 统 假 设 （ continuumhypothesis, CH），康托尔终其一生也没能解决它。1900年，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert, 1862—1943）在巴黎第二届国际数学家大会上提出了23个问题，把连续统假设列为第一个难题。多年以后，两位数学家证明了ZFC公理体系既不能推导出连续统假设是对的，也不能推导出它是错的。

口 1940年，伟大的逻辑学家库尔特·哥德尔（KurtGödel, 1906—1978）证明了连续统假设与ZFC的相对协调性，即ZFC无法证明连续统假设是错的。

口 1963年，美国数学家、菲尔兹奖得主（1966年）保罗·寇恩（Paul Cohen, 1934—2007）证明了ZFC无法推导出连续统假设。

图1.117 基于哥德尔（左）和寇恩（右）的工作，连续统假设被证明独立于ZFC公理体系。人类对无穷的认知又上了一个新台阶

以上通过对“一样多”“不少于”“多于”等关系的严格定义，推导出一些结论，从而产生出一些分类，例如“和自然数一样多的无穷”。为了方便使用此概念，有必要明确其语义并赋予一个术语，这便是“可数无穷”概念的由来。

概念改变世界

通常，概念的形成也要依靠归纳、类比、想象，而非仅仅依靠逻辑思维。例如，

口 一些对象总带着相同的“语义标签”（semanticlabel），如果要经常谈论到这些对象，那么它们就需要一个概念来固化其含义。使用这个概念的人越多，它就越容易被写入《辞海》《百科全书》等。

口 一些数学分支从若干公理出发，不断地产生出新的概念。这些新的概念并不是显式地存在于公理体系之中，而要靠推演和应用的价值来决定它们是否值得构建。譬如，代数学中“群”的概念，是从大量代数系统的共性中精炼出来的。再如，法国数学家昂利·勒贝格（Henri Lebesgue, 1875—1941）于1902年发表了名垂青史的论文《积分、长度和面积》，严格地定义了“长度”和“面积”的概念。所定义的勒贝格测度和勒贝格积分如今已成为实变函数论研究的核心内容，同时也是概率论（probability theory）的严格数学基础。

MANKA

图1.118 如果没有勒贝格开创的测度论，我们就无法精确理解长度、面积、体积。如果没有分形维数，我们对几何维度的认知就只能局限在直觉，就无法理解希尔伯特曲线竟然能填满单位正方形

人类对“维数”这一概念的认知，也经历了从实例到抽象的摸索过程。

——1891年，德国数学家大卫·希尔伯特提出了一种用分形（fractal）曲线填满正方形的方法。该分形曲线被称为“希尔伯特曲线”，其长度是无穷，分形维数（也称作豪斯多夫维数⁽¹⁸⁾）是2。

——1915年，波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński, 1882—1969）提出一种分形，称作“谢尔宾斯基三角形”。给定一个等边三角形，从中抠除一个小的等边三角形；在剩下的三角形中，继续重复抠除的动作……。每次结果的面积都是上个结果的3/4，所以谢尔宾斯基三角形的面积为零。另外，它的分形维数是 $\mathrm { 1 o g _ { 2 } 3 \approx 1 . 5 8 5 }$