人工智能伦理

图1.142 法律追求公正，少不了逻辑推理，有时一不小心会掉进悖论的怪圈

例1.26 给定一个初始集合 $A _ { \boldsymbol { O } } ,$ ，按照下面的方法构建一个集合。

$$
A _ { j + l } = A _ { j } \cup \{ A _ { j } \} , \ : \ : \sharp \sharp \ : _ { \dot { \mathcal { I } } } = 0 , 1 , 2 , \ : \bullet \ : \bullet . \ :
$$

例如，令 $A _ { \mathcal { O } } \mathrm { = } \{ 1 \}$ ，则

$$
A _ { l } { = } \{ 1 , \ \{ 1 \} \}
$$

显然， $A _ { \cal O } , A _ { \cal I } , \bullet \bullet \bullet$ 的极限是

A={1,{1},{1,{1}},{1,{1},{1,{1}}},{1,{1},{1,{1}},{1,{1}, {1,{1}}}},···}

进而，我们有

$$
A { = } A \cup \{ A \}
$$

$$
A \in A
$$

为了避免如此怪异的类（class）混进集合论， $Z { \mathrm { F C } }$ 公理体系有一条正则公理（axiom of regularity），要求非空集合S中必须有这样的元素 $\chi \in S ,$ ，使得x的所有元素都不属于S，即

$$
\scriptstyle { X } \bigcap { S = { \emptyset } }
$$

在正则公理的保障之下，集合S永远不会有 $S \in { \mathfrak { s } } .$ S这样怪异的性质。公理化的方法是消除悖论的有效手段，而悖论是数学无法忍受的，所以很多数学分支都采用了公理化。人工智能要如何做才能让机器“理解”这些公理，甚至“构建”自己的公理体系呢？

例1.27 斯宾诺莎的《伦理学》的第二部分“论心灵的性质和起源”中的命题十四是：人心有认识许多事物的能力，如果它的身体能够适应的方面愈多，则这种能力将随着愈大。以下是斯宾诺莎给出的“证明”，它虽然不是数学意义上的严格论述，但力图做到有根有据，看上去是逻辑严谨的。

“人身据公设三与六在许多情形下为外界物体所激动，而且又适于在许多情形下支配外界物体。但是据第二部分命题十二，人心必然能觉察人身中的一切变化。所以人心有认识多量事物的能力，如果它的身体能够适应的方面愈多，则这种能力将随着愈大。此证。

例1.28 在数学和科学里，也有很多产生于类比推理和归纳推理的发现。1637年，法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat, 1601—1665）提出一个猜想：当自然数n>2时，不定方程 $\boldsymbol { X } ^ { \mathcal { n } } { } ^ { + } \boldsymbol { y } ^ { \mathcal { n } } { } ^ { = } \boldsymbol { Z } ^ { \mathcal { n } }$ 没有整数解。费马确信自己发现了一种美妙的证法，除了那句“可惜这里的空白处太小，写不下”，没留下任何只言片语的证明。

图1.143 费马是业余数学家之王，他的本职工作是律师，然而对数论、概率论、微积分的贡献丝毫不逊于职业数学家

口 1770年，数学英雄莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler, 1707—1783）证明了n=3时猜想是对的。

口 1825年，数学王子卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777—1855）证明了n=5的情形。

这个猜想历经300多年，终于在1995年被英国数学家 安 德 鲁 · 怀 尔 斯 （ Andrew Wiles, 1953— ） 证明，被称为费马大定理（Fermat’s last theorem）。

证明所用的数学绝非三百年前的费马所掌握，我们无法再现费马灵感一现的瞬间，更倾向于认为费马当时恍惚间自以为找到了证明，和这个猜想曾有过的数千个不正确的证明一样，也是竹篮打水空欢喜一场。

例1.29 印 度 天 才 数 学 家 斯 里 尼 瓦 瑟 · 拉 马 努 金（Srinivasa Ramanujan, 1887—1920）的一生充满传奇色彩，他直接给出的很多结果大多数都被后来的数学家证明是正确的，而拉马努金是如何得到这些非平凡的结果的仍旧是一个谜。据拉马努金坦言，他常在梦中受到神的启示而记下结果——这个说法和外星人显灵一样不可思议。他的导师、英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy,1877—1947）也曾表达过类似的迷惑，对这位天才的直觉赞叹不已。

图1.144 拉马努金是印度的民族英雄，他的事迹被拍成电影《知无涯者》

例1.30 1904年，法国数学大师、理论物理学家、哲学家昂 利 · 庞 加 莱 （ Henri Poincaré, 1854—1912 ） 提 出 一 个 猜想：“任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。”庞加莱猜想是拓扑学中最著名的难题，半个多世纪里不断有人声称找到了证明，但无一正确。

Henri Poincaré 1854-1912

2003

Poincare-VermutungGrigori Perelman图1.145 庞加莱是人类历史上最后一位数学全才，几乎通晓所有数学分支

口 1961年，美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（StephenSmale, 1930— ）证明了五维或以上的庞加莱猜想（Poincaré conjecture）。斯梅尔于1966年获得菲尔兹奖，2007年获得沃尔夫奖，很少有数学家同时获得这两项数学界的最高殊荣。

口 1981年，美国数学家迈 克 尔 · 弗 里 德 曼（Michael Freedman, 1951— ）证明了四维的庞加莱猜想，因此获得1986年的菲尔兹奖。

口 2002—2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman, 1966— ）证明了三维的庞加莱猜想。2006年，佩雷尔曼被授予菲尔兹奖，但他拒绝了。

费马、拉马努金、庞加莱的直觉不是单纯的某种推理，而是归纳推理、类比推理和逻辑推理的组合。人类还有哪些未曾被挖掘的潜在推理能力？直觉、灵感、顿悟对机器而言是什么呢？这些问题都悬而未决。

大多数数学家都把数学的美感看得非常重要，譬如简约之美。德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl, 1885—1955）有句名言：“我的工作总是试图把真与美结合起来，当我不得不选择其中之一时，我通常会选择美。”外尔曾写过一本科普读物《对称》^[38]，他说：“美与对称息息相关。”这是因为，“对称性，无论您定义其含义是宽是窄，都是人类千百年来试图理解并创造秩序、美丽和完善的一种想法”。那么，对机器来说，美感是什么呢？