人工智能伦理

图3.24 康德的《纯粹理性批判》是西方哲学史中最具影响力的名著，书名的含义是“考察一切独立于经验的理性”

在其名著《纯粹理性批判》（1781）^[59][60]中，康德有段著名的分析，“到目前为止，人们一直认为我们所有的认知都必须与对象相一致；但是，所有试图通过扩展我们认知的概念来先验地发现关于这些对象的某些东西的尝试，在这个前提假设下都一无所获。因此，通过假设对象必须遵循我们的认知，这将更好地符合对它们的先验认知所要求的可能性，即在给定这些对象之前，先建立一些关于它们的东西，让我们尝试是否无法进一步探讨形而上学的问题。这就像哥白尼最初的想法，当如果认为整个天体围绕着观测者旋转而在解释天体运动方面不能取得好的进展时，那么他试图看看，如果他让观测者旋转，让恒星静止下来，是否可能不会取得更大的成功”。康德认为自己在哲学里完成了一场哥白尼式的革命。

图 3.25 波 兰 数 学 家 、 天 文 学 家 尼 古 拉 · 哥 白 尼 （ NicolausCopernicus, 1473—1543）的“日心说”被视为文艺复兴时期标志性的科学成果，战胜了统治千年的“地心说”

无矛盾的数学知识

脱离了经验的理性思维，如果能一直无矛盾地走下去，这些先验知识有可能在经验中找到对应之物。这样的案例在数学里有很多，比如非欧几何（non-Euclidean geometry），也称“非欧几里得几何学”。

古希腊数学家、几何学之父欧几里得（Euclid, 前325—前265）的著作《几何原本》是数学公理化的范本，它对数学的影响延续至今，仍是中小学数学教育的重要内容。在很长一段历史时期，“几何学家”就是数学家的代名词。

SCALA NEW YORK FLORENCE

图3.26 在拉斐尔·桑蒂（Raffaello Santi, 1483—1520）的壁画

《雅典学派》中，秃顶弯腰手持圆规者是欧几里得，他正在讲解几何学

欧氏几何的第五公设（也称平行公设）略显复杂。它断言，一条线段与两条直线相交，如果同侧内角之和小于两直角和，那么这两条直线在无限延伸之后，会在内角之和小于两直角和的一侧相交。与之等价的公理是：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。

数学家花了两千年试图证明欧几里得第五公设可由其他公设推导出来，但都以失败告终。1830年左右，俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky, 1792—1856）和匈牙利数学家亚诺什·鲍耶（János Bolyai，1802—1860）分别证明了欧几里得第五公设独立于其他公设。

图3.27 罗巴切夫斯基（左图）和鲍耶（右图）所创立的非欧几何是双曲几何。中间邮票里的庞加莱圆盘（Poincaré disc）是一种双曲几何模型

他们的方法是把第五公设改为“过直线外一点至少可引两条平行线”，与欧氏几何其他公设一起构成公理体系，看看是否能推出矛盾。如果能推出矛盾，则证明了第五公设。在新的公理基础上，虽然推导出来的结果出乎意料、匪夷所思，但都没有逻辑矛盾。这个新的几何学与欧氏几何学一样，在现实之中也有适用的场景。罗巴切夫斯基和鲍耶两人独自创立了非欧几何中的双曲几何（hyperbolic geometry）⁽⁵⁾，但在当时并未得到数学界的认可，属于他们的荣誉在他们死后才姗姗来迟。

图3.28 在曲面上，局部两点之间的最短路径被称为测地线（geodesic line）。所谓“直线”实则是曲面上的曲线，其上任意两点之间都是测地线。（左图）双曲面上的几何学正是罗巴切夫斯基–鲍耶的非欧几何，例如，双曲面上的三角形内角之和小于180^◦。（右图）球面上的几何学是另一类非欧几何，其上三角形内角之和大于180^◦

在希尔伯特的《几何基础》中，基本概念（包括基本元素、基本关系）由公理系统限定其含义。如果接受该体系，就要接受由它推演出来的所有结果，以及在基本概念之上衍生出来的所有概念。