人工智能哲学

图1-1 图中的表达式。图中神经元ci始终以细胞体上的数字i来标记，而对 $c _ { i }$ 应动作则和正文中一样由带有下标i的 $" N "$ 来表示。

a. ${ \cal N } _ { 2 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( t ^ { - 1 } )$

b. ${ \cal N } _ { 3 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( t - 1 ) \vee { \cal N } _ { 2 } ( t - 1 )$

${ \cal N } _ { 3 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( t - 1 ) . { \cal N } _ { 2 } ( t - 1 )$ C.

d. ${ \cal N } _ { 3 } ( t ) , \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( t - 1 ) . \sim { \cal N } _ { 2 } ( t - 1 )$

e. $\tilde { N _ { 3 } } ( t ) _ { ! } \equiv _ { ! } N _ { 1 } ( t - 1 ) . \vee . N _ { 2 } ( t - 3 ) . \sim N _ { 2 } ( t - 2 )$

$$
{ \cal N } _ { 4 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 2 } ( t - 2 ) . { \cal N } _ { 2 } ( t - 1 )
$$

f. $\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \ } _ { N 4 } ^ { n } ( t ) , = \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ^ { n } \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ^ { n } \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ^ { n } \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ^ { - 1 } ( t - 1 ) \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t - 1 ) , \mathrm { ~ \ } _ { N } ( t - 1 ) , } \\ & { \mathrm { \ } _ { N _ { 4 } } ( t ) , \equiv , \ \cdot \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( t - 1 ) . \mathrm { ~ } N _ { 2 } ( t - 1 ) \vee N _ { 3 } ( t - 1 ) . \mathrm { ~ } _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \cdot N _ { 1 } ( t - 1 ) . \mathrm { ~ } N _ { 3 } ( t - 1 ) . \mathrm { ~ } N _ { 1 } ( t - 1 ) } \end{array}$ $\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } } & { { } ^ { I \hat { \bf { v } } _ { 4 } \hat { \bf { v } } _ { 5 } \hat { \bf { \Pi } } _ { 1 } - \hat { \bf { \Pi } } _ { 3 } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { { \bf \Pi } } & { { } ^ { N _ { 4 } ( t ) _ { 5 } } \equiv _ { 5 } \quad \sim N _ { 1 } ( t - 2 ) . N _ { 2 } ( t - 2 ) \vee N _ { 3 } ( t - 2 ) . \vee . N _ { 1 } ( t - 2 ) . N _ { 2 } ( t - 2 ) . N _ { 3 } ( t - 2 ) } \end{array}$

g. ${ \cal N } _ { 3 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 2 } ( t - 2 ) . \sim { \cal N } _ { 1 } ( t - 3 )$

h. ${ \cal N } _ { 2 } ( t ) . \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( t - 1 ) . { \cal N } _ { 1 } ( t - 2 )$

i. $\begin{array} { l } { \mathsf { \Pi } _ { N _ { 3 } ( t ) _ { \sharp } } ^ { \circ } = : \mathsf { N } _ { 2 } ( t - 1 ) . \mathsf { V } . \mathsf { \dot { N } } _ { 1 } ( t - 1 ) . \mathsf { V } . \mathsf { N } _ { 1 } ( t - 1 ) . ( E x ) t - 1 . \mathsf { N } _ { 1 } ( x ) . \mathsf { N } _ { 2 } ( x ) } \end{array}$

人工智能哲学

32

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { 3 } ( t ) : \equiv : N _ { ! } ( t - 1 ) . \vee . N _ { ! } ( t - 3 ) . \sim N _ { ! } ( t - 2 ) } \\ & { N _ { 4 } ( t ) . \equiv . N _ { 2 } ( t - 2 ) . N _ { ! } ( t - 1 ) } \end{array}
$$

为简单起见，这里我们假定冷的感觉需要持续大约两个突触延迟，相比之下热的感觉只需一个延迟。这些条件显然低于定理Ⅲ。因此可用定理Ⅱ的方法构造出一个网来实现它们。开始时，我们用图1-1a，b，c，d中实现的运算，把它们写成能显示出它们组成成分的形式，即这种形式：

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { 3 } ( t ) . \equiv . S \{ N _ { 1 } ( t ) \vee S [ ( S N _ { 2 } ( t ) ) . \sim N _ { 2 } ( t ) ] \} } \\ & { N _ { 4 } ( t ) . \equiv . S \{ [ S N _ { 2 } ( t ) ] . N _ { 2 } ( t ) \} \ \mathrm { , } } \end{array}
$$

我们首先为括在最里面的函数构造一个网，然后向外发展；在这种情况下，我们运行一个由图1-1a中所示那种形式的网，比如说，从神经元$c _ { 2 }$ 到某个神经元 $c _ { a }$ ，得到结果：

$$
\smash { N _ { a } ( t ) _ { 3 } \equiv . S N _ { 2 } ( t ) _ { 3 } }
$$

下一步引人图1-1c和图1-1d形式的两个网，两者都从 $c _ { a }$ 和 $c _ { 2 }$ 开始运行，分别在 $c _ { 4 }$ 和比如说 $c _ { b }$ 结束。于是

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { 4 } ( t ) _ { \cdot } \equiv . S \left[ N _ { a } ( t ) . N _ { 2 } ( t ) \right] \ , \equiv . S \left[ \left( S N _ { 2 } ( t ) \right) . N _ { 2 } ( t ) \right] \ , } \\ & { N _ { b } ( t ) _ { \cdot } \equiv . S \left[ N _ { a } ( t ) . \sim N _ { 2 } ( t ) \right] \ . } \\ & { \equiv . S \left[ \left( S N _ { 2 } ( t ) \right) . \sim N _ { 2 } ( t ) \right] \ , } \end{array}
$$

最后运行图1-1b形式的网，从 $c _ { 1 }$ 和 $c _ { b }$ 到 $c _ { 3 }$ ，并导出

$$
\begin{array} { l } { { N _ { 3 } ( t ) . \equiv . S \left[ N _ { 1 } ( t ) \vee N _ { b } ( t ) \right] ~ . } } \\ { { \ } } \\ { { \equiv . S \left\{ N _ { 1 } ( t ) \vee S \left[ ( S N _ { 2 } ( t ) ) . \sim N _ { 2 } ( t ) \right] ~ \right\} ~ . } } \end{array}
$$

$N _ { 3 } ( \mathbf { \varepsilon } _ { t } )$ 和 $N _ { 4 } ( \mathfrak { t } )$ 的这些表达式就是所要求的表达式；而这一起实现作用的网在图1e 中完整地示出。

这种幻觉使得感知和“外部世界”之间的对应关系依赖于中介神经网特殊结构特性这一事实非常清楚。当然，对应于不同的网，采用其他各种有关皮肤感受器行为的假定，也能产生同样的幻觉。

1 神经活动内在概念的逻辑演算

33

现在我们来考虑某些等价定理，这些定理证明了神经刺激的各种替换定律，除时间而外，在本质上是等同的。我们首先来讨论相对抑制的情况。它意指这样一个假定：一个抑制性突触的激发并不绝对地阻止神经元的激发，而只是提高它的阈值，所以与别的情况相比，必须有更多的刺激性突触同时激发才能将它激发起来。我们可以不失一般性地假定，对每一个这样的突触激发，阈值的增长是1；于是我们就得到如下定理：

定理IV

相对抑制和绝对抑制在广义上是等价的。

根据(1)的方式，但改成运用相对抑制的假定，我们可以写出一个神经刺激定律来；经检查，这个表达式是一个TPE。图1-1f给出一个用绝对抑制替代相对抑制的例子。相反的替代更为容易，我们分别给每个传人 $c _ { i }$ 的抑制性轴突以任何充分多数量的抑制性突触即可。

其次，我们考虑消退的情况。这可以写作神经元 $c _ { i }$ 激发后阈值θ；的变化形式；对最接近的整数—只有对这样的近似而言，阈值变化在自然刺激形式中才是有意义的——来说，这可以写作激发后j个突触延迟的序列 $\theta _ { i } + b _ { j }$ ，其中当j足够大时，比如说j=M或更大时， $b _ { j } =$ 0。这样我们就可以陈述定理V。

定理V

消退与绝对抑制是等价的。

假定相对抑制暂时保持，我们仅需运行M个环路 $\pmb { J } _ { 1 }$ ， $J _ { 2 }$ $\cdots$ $J _ { m }$ ，它们分别包含1，2，…，M个神经元，这就会使得任一环路上每个连接的激发都足以激发下一个连接，从神经元 $\pmb { c } _ { i }$ 又返回到它自己，环路 $J _ { j }$ 的末尾恰好有 ${ \pmb { c } } _ { i }$ 上的 $b _ { j }$ 个抑制性突触。显然，这将产生所要求的结果。相反的替换可以由图1-1g中的模式来完成。从替代形式的传递性出发，我们就推导出这个定理。著名的定理VI也属于这组定理。

人工智能哲学

34

定理VI

助长和时间求和可以被空间求和替代。

显而易见，在受刺激细胞和要求在其上保持时间求和的神经元之间，我们只须引人一个增加突触数目的、适当的延迟链序列。这样，空间求和的假定就会给出所需要的结果。作为例子，请看图1-1h。这个过程可用于表明，观察到的整个网的时间求和并不含有个体神经元之间相互作用中的那种机制。

学习现象具有在神经活动的大多数生理变化过程中保持不变的特性，似乎要求网的结构有可能出现永久性改变。这种改变的最简单的方式是形成新突触，或等价的局部阈值降低。我们设想某些轴突末梢开始时不能刺激后继的神经元；但如果在某一时刻这个神经元激发了，并且轴突末梢也同时受到刺激，末梢就变成通常类型的突触，从此以后就有了刺激神经元的能力。抑制性突触的损失得出一个完全等价的结果。于是我们就有定理VI。

定理VI

可变的突触可用环来代换。

这一过程可用图1-1i中的方法来实现。还必须注意，一个变为自发活动的、并保持这一特性的神经元，同样也能由一个环来替代，该环进入活动状态靠的是活动开始时的周围传入神经，而它被抑制则是靠活动停止时的周围传入神经。

1. 理论：有环网

那些不满足以前不带环假定的网，处理起来要比满足的情况困难得多了。这主要是由于：活动可能在一个环路中形成，并在一段不确定的时间内继续环绕它震荡，所以可实现的Pr可能涉及对一些久远程度不定的过去事件的参照。我们来考虑这样一个网H，假定它为P阶，并设 $c _ { 1 } , c _ { 2 } , \cdots , c _ { p }$ 是H中的一组循环的神经元。首先从定义可知：H的每一个N，都可以表达为 $N _ { 1 } , ~ N _ { 2 } , ~ \cdots , ~ N _ { p }$ 和绝对传入神经的TPE；于是H的解仅涉及对该循环组表达式的确定。照此办理，我们就能推导出一组表达式[A]：

1 神经活动内在概念的逻辑演算

35

$$
{ \cal N } _ { i } ( z _ { 1 } ) . \equiv . P r _ { i } \left[ S ^ { n _ { * } } N _ { 1 } ( z _ { 1 } ) , S ^ { n _ { * } } N _ { 2 } ( z _ { 1 } ) , \cdots , S ^ { n _ { * } } N _ { p } ( z _ { 1 } ) \right]\tag{2}
$$

式中 $P r _ { i }$ 也涉及周围传入神经。如果n是 $n _ { i j }$ 的最小公倍数，那么按照(2)式，以周围传入神经的等价物替换 $N _ { j }$ ，并且在所得结果上将这个过程重复足够多的次数，我们就获得如下形式的S：

$$
{ \cal N } _ { i } ( z _ { 1 } ) . \equiv . P r _ { 1 } \left[ S ^ { n } { \cal N } _ { 1 } ( z _ { 1 } ) , S ^ { n } { \cal N } _ { 2 } ( z _ { 1 } ) , \cdots , S ^ { n } { \cal N } _ { p } ( z _ { 1 } ) \right] \ _ { \mathrm { ~ o ~ } }\tag{3}
$$

这些表达式可以用希尔伯特析取的正则形式写成：

$$
N _ { i } ( z _ { 1 } ) . \equiv . \sum _ { \stackrel { \alpha \neq k } { \beta \atop \beta \alpha } } S _ { a } \prod _ { j \underset { k } { \varepsilon \pm k } } S ^ { n } N _ { j } ( z _ { 1 } ) \prod _ { j \underset { k } { \varepsilon \pm k } } \sim S ^ { n } N _ { j } ( z _ { 1 } ) ,
$$

对适当的k，

(4)

式中 $S _ { a }$ 是一个网H的绝对传入神经的TPE。这里大约有 $2 ^ { p }$ 个不同的语句，由 $p N _ { i }$ 构成，采用方法是把它们之中某一部分的合取与其余部分的否定的合取结合起来。若由 $X _ { 1 } ( z _ { 1 } ) , X _ { 2 } ( z _ { 1 } ) , \cdots , X _ { 2 p } ( z _ { 1 } )$ 对其数值化，我们可以通过使用表达式(4)得出如下形式的一组等效方程：

$$
X _ { i } ( z _ { 1 } ) . \equiv . \sum _ { j = 1 } ^ { 2 p } P r _ { i j } ( z _ { 1 } ) . S ^ { n } X _ { j } ( z _ { 1 } ) _ { \circ }\tag{5}
$$

现在我们把下标数i，j引入对象语言，即定义 $P r _ { 1 }$ 和 $P r _ { 2 }$ ，使得每当$z z _ { 1 }$ 和 $z z _ { 2 }$ 分别代表i和j时，就可证明 $P r _ { 1 } ( z z _ { 1 } , \ z _ { 1 } ) . \equiv . X _ { i } ( z _ { 1 } )$ 和 $P r _ { 2 }$ $( z z _ { 1 } , \ z z _ { 2 } , \ z _ { 1 } ) . \equiv . P r _ { i j } ( z _ { 1 } )$

这样我们可以把(5)式重写成：

$$
( z _ { 1 } ) z z _ { p } : P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 3 } ) . \equiv . ( E z _ { 2 } ) z z _ { p } . P r _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } - z z _ { n } ) .
$$

人工智能哲学

36

$$
P r _ { 1 } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } - z z _ { n } )\tag{6}
$$

式中 $z z _ { n }$ 代表n，而 $z z _ { p }$ 代表 $2 ^ { p }$ 。经过重复替代，对代表s的任何数字$z z _ { 2 }$ 来说，我们就得到一个表达式：

$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \colon P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z z _ { n } z z _ { 2 } ) _ { \bullet } \equiv . ( E z _ { 2 } ) z z _ { p } ( E z _ { 3 } ) z z _ { p } \cdots ( E z _ { n } ) z z _ { p } . } \\ & { P r _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z z _ { n } ( z z _ { 2 } - 1 ) ) . P r _ { 2 } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } , z z _ { n } ( z z _ { 2 } - 1 ) ) . \cdots . } \\ & { P r _ { 2 } ( z _ { n - 1 } , z _ { n } , 0 ) . P r _ { 1 } ( z _ { n } , 0 ) _ { \circ } } \end{array}\tag{7}
$$

通过归纳，不难证明它与下式等效：

$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \ldots P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z z _ { n } z z _ { 2 } ) \div \equiv \colon \ : ( E f ) ( z _ { 2 } ) z z _ { 2 } - 1 f ( z _ { 2 } z z _ { n } ) } \\ & { z z _ { p } . \ : f ( z z _ { n } z z _ { 2 } ) = z _ { 1 } . \ : P r _ { 2 } ( f ( z z _ { n } ( z _ { 2 } + 1 ) ) , } \\ & { f ( z z _ { n } z z _ { 2 } ) ) . \ : P r _ { 1 } ( f ( 0 ) , \ : 0 ) } \end{array}\tag{8}
$$

既然这对所有 $z z _ { 2 }$ 都适用，因此下式也成立：

$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 4 } ) ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \colon P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 4 } ) _ { \star } \equiv _ { \star } ( E f ) ( z _ { 2 } ) ( z _ { 4 } - 1 ) _ { \star } f ( z _ { 2 } ) } \\ & { \leqslant z z _ { p } \star f ( z _ { 4 } ) = z _ { 1 } f ( z _ { 4 } ) = z _ { 1 } \cdot P r _ { 2 } \ \left[ f ( z _ { 2 } + 1 ) , f ( z _ { 2 } ) , z _ { 2 } \right] \ , } \\ & { P r _ { 1 } \ \left[ f ( r e s ( z _ { 4 } , z z _ { n } ) ) , r e s ( z _ { 4 } , z z _ { n } ) \right] \ , } \end{array}\tag{9}
$$

式中 $z z _ { n }$ 代表n， $r e s ( r , s )$ 是r除以s的余数，而 $z z _ { p }$ 代表 $2 ^ { p }$ 。它可以近似地写成

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { i } ( t ) . \equiv . \left( E \varPhi \right) ( x ) t { - } 1 . \Phi ( x ) { \leqslant } 2 ^ { p } . \Phi ( t ) } \\ & { \qquad = i . P \left[ \Phi ( x { + } 1 ) , \Phi ( x ) . N \varPhi ( _ { 0 } ) ( 0 ) \right] , } \end{array}
$$

假定式中 x和t也能被n除尽，而 $P r _ { 2 }$ 代表 $P _ { \circ }$ 根据前面的论述，我们得到定理VI。

定理VⅢI

表达式(9)表示网H的那组循环神经元，它和用这组神经元表达其他神经元动作的某个TPE一起，构成了网H的一个解答。

现在来考虑一组 $S _ { i }$ 的可实现性问题。由简单归纳可证得的第一个必要条件是，如果对 $S _ { i }$ 中其他自由变量p存在着类似陈述，即任何神经网都不能计及未来的周围传入神经，则下式成立：

1 神经活动内在概念的逻辑演算

37

人工智能哲学

$$
( z _ { 2 } ) z _ { 1 } . p _ { 1 } ( z _ { 2 } ) \equiv p _ { 2 } ( z _ { 2 } ) . . S _ { i } \equiv S _ { i } \{ \begin{array} { c } { { p 1 } } \\ { { p 2 } } \end{array} \}\tag{10}
$$

$$
\begin{array} { r l } & { P r _ { m i } = \ b { \mathscr { F } } [ ( z _ { 1 } ) ( z _ { 2 } ) z _ { 1 } ( z _ { 3 } ) z z _ { p } : . f ( z _ { 1 } , \ z _ { 2 } , \ z _ { 3 } ) } \\ & { \qquad \equiv 0 . \vee . f ( z _ { 1 } , \ z _ { 2 } , \ z _ { 3 } ) = 1 { : } f ( z _ { 1 } , \ z _ { 2 } , \ z _ { 3 } ) } \\ & { \qquad = 1 . \equiv . p _ { z 3 } ( z _ { 2 } ) { : } { : } S _ { i } ] \ , } \end{array}
$$

任何满足这个要求的 $S _ { i }$ 都能用如下形式的等效S来替代：

$$
( E f ) ( z _ { 2 } ) z _ { 1 } ( z _ { 3 } ) z z _ { p } : f \in P r _ { m i } : f ( z _ { 1 } , \ z _ { 2 } , \ z _ { 3 } ) { \stackrel { } { = } } 1 . \equiv . p _ { z 3 } ( z _ { 2 } )\tag{11}
$$

式中 $z z _ { p }$ 代表P。现在考虑 $\alpha _ { \textit { i } }$ 类别的这些序列，对 $\alpha _ { i }$ ，

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { i } ( t ) : \equiv : ( E \varPhi ) ( x ) t ( m ) q : \varPhi \varepsilon \propto \varepsilon _ { i } : N _ { m } ( x ) . } \\ & { \qquad \equiv . \ \varPhi ( t , x , m ) { = } 1 \qquad [ i { = } q { + } 1 , \cdots , M ] } \end{array}\tag{12}
$$

对某个网成立。这些将被称为可理解的类别。我们把一组k类别生成的布尔环定义为可通过重复应用逻辑运算由k的元形成的那些类别的集合；即

$$
\begin{array} { r l } & { R ( { h } ) ^ { \scriptscriptstyle [ 1 ] } = p \mathrm { \Large ~ \Psi ~ } ^ { * } \hat { \lambda } \mathrm { \Large ~ [ ( \alpha ~ , ~ \beta ~ ) _ { \pm } ~ \alpha ~ \varepsilon ~ } k \alpha \mathrm { \Large ~ \varepsilon ~ } \lambda : \alpha , \mathrm { \Large ~ \beta ~ } \varepsilon \lambda . } \\ & { \mathrm { \large ~ ~ \alpha ~ , ~ \alpha ~ \alpha ~ \cdot ~ \beta ~ , ~ \alpha ~ \vee ~ \beta ~ } \varepsilon \lambda \mathrm { \large ~ \rule { 0 ex } { 5 ex } ] ~ } . } \end{array}
$$

同时我们定义

$$
\begin{array} { c } { { { \overline { { { R } } } } ( k ) . = . R ( k ) - \mathrm { \Lambda } _ { 1 } { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } p { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } - { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } k , } } \\ { { { R } _ { e } ( k ) = p { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } { \hat { \lambda } } [ { \mathrm { ( } } \alpha { \mathrm { , } } \beta { \mathrm { ) } } { \mathrm { : } } \alpha \ \varepsilon \ k \to \alpha \ \varepsilon \ \lambda \ . } } \\ { { \to . - \ \alpha \ , \ \alpha \ . \ \ \mathrm { ~ } \ \mathrm { \Lambda } \ \beta \ , \ \alpha \ \vee \ \mathrm { \Lambda } \mathrm { \Lambda } ^ { \mathrm { \Lambda } } { \mathrm { , } } \ { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } \ \alpha \ \varepsilon \ \hat { \lambda } } } \\ { { { \overline { { { R } } } } _ { e } ( k ) = { R } _ { e } ( k ) - \mathrm { \Lambda } _ { 1 } { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } p { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } - { \mathrm { \Lambda } } ^ { * } k , } } \end{array}
$$

$$
\sigma \left( \Psi , \ t \right) = \Phi \left[ \left( m \right) . \hat { \Phi } \left( t + 1 , \ t , \ m \right) = \Psi \left( m \right) \right] \ \mathrm { ~ } _ { \circ }
$$

Re(k)类别是仿照R(k)由k形成的，但是不仅通过重复应用逻辑运算，而且也要重复应用由 $S ( P ) ~ \varepsilon S ~ ^ { \textbf { \em a } } \alpha$ 替代特性 $P \varepsilon \ \alpha$ 类别的运算。于是我们得出引理：

[1]此处和以下分别以“R”和“h”替代原文中书写体R和希腊文k的字型。—译者

38

$$
P r _ { 1 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { m } , z _ { 1 } ) _ { k } ^ { \boxplus } \cdots { \uparrow } \mathrm { T P E } \cong { \downarrow } \mathrm { H } \{ \mathbb { Z } \stackrel \pm \} { = } 1 \}
$$

$$
\begin{array} { r l } & { ( Z _ { 1 } ) ( p _ { 1 } , \cdots , p _ { m } ) ( E p _ { m + 1 } ) _ { : } p _ { m + 1 } \subsetneq \widetilde { R } _ { e } ( \{ p _ { 1 } , \ : p _ { 2 } , \ : \cdots , \ : p _ { m } \} ) } \\ & { \qquad p _ { m + 1 } ( z _ { 1 } ) \equiv P r _ { 1 } ( p _ { 1 } , \ : p _ { 2 } , \ : \cdots , \ : p _ { m } , \ : z _ { 1 } ) } \end{array}\tag{13}
$$

为真时；并且它是一个不包含 $" S "$ 的 TPE，当且仅当 $\widetilde { \mathbfcal { R } } _ { e } \ ^ { \ast }$ 被 $\sqrt [ 6 ] { R } ^ { \ast }$ 替代上式成立时，于是得到定理X。

定理区X

一个类别 $\alpha _ { 1 } \mathrm { , ~ } \alpha _ { 2 } \mathrm { , ~ } \cdots \mathrm { , ~ } \alpha _ { \mathrm { , ~ } }$ 的序列是一个可理解类别的序列，当且仅当

$$
\begin{array} { c } { { ( E m ) ( E n ) ( p ) n ( i ) ( \Psi ) _ { : \cdot } ( x ) m \Psi ( x ) } } \\ { { { } } } \\ { { = 0 \vee \Psi ( x ) = 1 _ { : } { } _ { : } ( E \beta ) } } \end{array}
$$

$$
( E y ) m . \ \Psi ( y ) { = } 0 . \ \beta \varepsilon R [ \widehat { \gamma } \left( ( E i ) . \ \gamma - \alpha _ { i } \right) ] . \ \forall . \ ( x ) m .
$$

$$
\Psi ( x ) = 0 , ~ \beta ~ \varepsilon ~ \overline { { { R } } } ~ [ ~ \widehat { \gamma } ~ ( ( E _ { i } ) . ~ \gamma = \alpha _ { i } ) ] ~ : ( t ) ( \Phi ) : \Phi \varepsilon ~ \alpha _ { i } .\tag{14}
$$

$$
\sigma ( \Phi , n t + p ) . . ( E f ) . f \varepsilon \beta . ( w ) m ( x ) t - 1 .
$$

$$
\Phi \left( n \left( t + 1 \right) + p , n x + p , w \right) = f ( n t + p , n x + p , w ) \circ \cdot
$$

这里的证明直接从引理得出。该条件是必要条件，因为每一个可以写成具有形式(4)表达式的网显然都能验证它，Ψ是 $\scriptstyle { S _ { a } }$ 的特征函数，而对每个Ψ来说，β是其指称具有 $\prod _ { i \varepsilon \alpha } P r _ { i } \prod _ { j \varepsilon \beta } P r _ { j }$ 形式的类别，此处对所有的k， $P r _ { k }$ 均代表 $\alpha _ { \textbf { \em k } }$ 。反过来，我们可以对一个实现了满足(14)式的可理解类别的网H写出具有形式(4)的表达式，方法是代入表示若干Ψ和一个Pr的 $P r _ { a } P r$ —仿照析取正则形式类别的方式写出，再代入表示与该Ψ对应的 $\pmb { \alpha }$ 的 $P r _ { u } P r$ ，并与Ψ结合。由于具有形式(4)的每一个S是显然可以实现的，我们就得出这个定理。

我们能够根据当前的知识对各种特定网的全部过去状态确定到怎样的程度，即何时我们能构造一个网，要激活它那组循环神经元须要求周围传入神经具有一组由已知函数Φ；所规定的过去的值，研究一下这种 $\Phi _ { i }$ 状况，是不无益处的。在这种情况下，上述定理的 $\pmb { \alpha }$ ，类别简化为单

1 神经活动内在概念的逻辑演算

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人工智能哲学

元类别；而这一条件可以转换成：

$$
\begin{array} { r l } & { ( E m , \ n ) ( p ) n ( i , \ \Psi ) ( E j ) _ { ! \cdot } ( x ) m _ { : } \Psi ( x ) } \\ & { \quad = _ { 0 . \ V . } \ \Psi ( x ) = 1 _ { : } } \\ & { \quad \Phi _ { i } \ \varepsilon \ \sigma \ ( \ \Psi , \ n t + p ) _ { : } _ { : } ( w ) m ( x ) t - 1 . \ \Phi _ { i } ( n ( t + 1 ) } \\ & { \quad \ + p , n x + p , w ) = \Phi _ { i } ( n t + p , \ n x + p , \ \dot { w } ) : . } \\ & { ( u , \ \nu ) ( w ) m . \ \Phi _ { i } ( n ( u + 1 ) + p , \ n u + p , \ w ) } \\ & { \quad = \Phi _ { i } ( n ( \nu + 1 ) + p , \ n \nu + p , \ w ) _ { \circ } } \end{array}
$$

由于篇幅的限制，我们对上述论点的介绍是十分简要的；我们打算在今后出版中扩充它和它的某些内涵。

最后一个定理的条件虽然不详细，但却简单明了；然而它在实际场合应用时，需要对大约 $2 ^ { 2 n }$ 个函数类别，也就是对 $R ( \{ \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { s } \} )$ 的各个元进行考察。因为其中每一个都是定理区的一个可能的β，这种结果不可能是清晰分明的。但是我们有可能得到一个S的可实现性的充分条件，这条件应用起来很方便，并且有可能适合于大多数实际用途。这由定理X给出。

定理X

让我们用下面的递归方式定义S中的一组K：

1. 任何 TPE，以及任何自变量已由K 中的元替代的 TPE，都属于 $\pmb { K }$

1. 如果 $P r _ { 1 } ( z _ { 1 } )$ 是K的一个元，那么 $\left( z _ { 2 } \right) z _ { 1 } . P r _ { 1 } \left( z _ { 2 } \right) , \left( E z _ { 2 } \right) z _ { 1 }$ $P r _ { 1 } ( z _ { 2 } )$ 和 $C _ { m n } ( z _ { 1 } )$ .s 都属于它，式中 $C _ { m n }$ 代表以n 为模与m同余的特性， $m < n$

1. 这组 K 不再有更多的元。

因此K的每个元都是可实现的。

因为如果 $P r _ { 1 } ( z _ { 1 } )$ 是可实现的，而

$$
\begin{array} { r l } & { N _ { i } ( z _ { 1 } ) \mathrel { \mathop : } \equiv \lrcorner P r _ { 1 } ( z _ { 1 } ) \cdot S N _ { i } ( z _ { 1 } ) } \\ & { N _ { i } ( z _ { 1 } ) \mathrel { \mathop : } \equiv \lrcorner P r _ { 1 } ( z _ { 1 } ) \vee S N _ { i } ( z _ { 1 } ) } \end{array}
$$

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是方程(4)的表达式的神经网，那么就分别实现 $( z _ { 2 } ) z _ { 1 } . P r _ { 1 } ( z _ { 2 } )$ 和 $( E z , )$ $z _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } P r _ { 1 } ( z _ { 2 } )$ ；具有n个连接、其中每一个都足以刺激下一个连接的简单环路 $c _ { 1 } , \ c _ { 2 } , \ \cdots , \ c _ { n }$ ，给出了作为最后形式的表达式

$$
{ \cal N } _ { m } ( z _ { 1 } ) . \equiv . { \cal N } _ { 1 } ( 0 ) . { \cal C } _ { m n }
$$

通过归纳，我们推导出这个定理。

最后，还要提到一件事。不难看出，首先，如果每个网配备一条传送带、一些与传入神经相联系的扫描器和适合于完成必要运动运算的传出神经，那么它仅能计算像图灵机所能计算的那种数；第二，每一个后面的数都能由这样的网计算；而带环的网也都能由这样的网计算；即使在没有扫描器和纸带的情况下，带环的网也能够计算机器所能计算的某些数，但不能计算另一些，而并非所有的网都如此。为图灵的可计算性定义和它的一些等价物提供心理学证明是件有意义的工作，这些等价物包括丘奇的λ可定义性和克利尼的原始递归性：如果任何数可由一个有机体来计算，那么在这些定义下，它就是可计算的，反之亦然。

1. 结论

因果关系必须具有状态描述与状态之间的必要联系规律，它以多种形式出现在多个学科中，但是除统计学而外，还从未像在本理论中一样是不可逆的。对任何一次传入神经刺激作用和任何一次所有作为构成成分的神经元的活动(每个“全或无”事件)所作的详细说明，确定了这一状态。对这些神经网所作的详细说明提供了必要联系规律，因而人们能从任一状态的描述中计算出对于后续状态的描述，但是析取关系包含的内容使得以前的状态不能完全确定。此外，作为构成成分的环的再生活动为过去时间提供的参照是不确定的。因此我们关于世界的知识，包括关于我们自己的知识，在空间上是不完全的，在时间上是不确定的。所有隐含在人类大脑中的无知，恰是那个使我们的知识变得有用的抽象性的互补物。在确定理论对观察和理论对事实的认识关系中，大脑的作用真是再明白不过了，因为很显然，每一思想和每一感觉都是靠那个网之中的活动实现的，而任何这种活动都无法使实际传入神经得到完全确定。

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