定理Ⅲ
设一个复杂语句 $\pmb { S } _ { 1 }$ 是已知的，它通过下列任何命题联系：否定、析取、合取、蕴涵和等价，以任何方式由一些 ${ \pmb p } ( { \pmb z } _ { 1 } \textrm { -- } { \pmb z } { \pmb z } )$ 形式的基本语句组成，这里zz是任何数字，于是 $\pmb { S } _ { 1 }$ 就是一个TPE，并且只有在假定它的成分 ${ \pmb p } ( { \pmb z } _ { 1 } \textrm { -- } { \pmb z } { \pmb z } )$ 全部为假—亦即被假语句所替代时，它才为假，或是它的真值表的最后一行包含一个“假”，或是在只由否定项组成的它的希尔伯特析取的正则形式中，一个项也不存在。
这后三个条件当然是等价的(Hilbert and Ackermann 1938)。我们由归纳看到，第一个条件是必要的，因为当 $p ( z _ { 1 } - z z )$ 被一个假语句替代时， $p ( z _ { 1 } - z z )$ 就变成假的，而当 $\pmb { S } _ { 1 }$ 和 $S _ { 2 }$ 两个成分都为假时， $\pmb { S } _ { 1 }$ $\vee S _ { 2 } , S _ { 1 } . S _ { 2 }$ 和 $s _ { \textsc { i } } . \sim s _ { \textsc { i } }$ 全为假。注意到下述情况，我们就看到最后的一个条件是充分的；当一个析取的成分都是TPE时，它就是TPE，同时任何项 $S _ { 1 } , S _ { 2 } , \cdots S _ { m } , \sim S _ { m + 1 } , \sim . \cdots \sim S _ { n }$ 都能够写成 $( S _ { 1 } , S _ { 2 } , \cdots$ $ { \boldsymbol { S } } _ { m } ) _ { \cdot } \sim ( { \boldsymbol { S } } _ { m + 1 } \vee { \boldsymbol { S } } _ { m + 2 } \vee \dots \vee { \boldsymbol { S } } _ { n } )$ ，它显然是一个TPE。
有一些发生在过去的久远不定的事件，在条件说明中无从得到参考，对于这种情况来说，上述定理事实上就为构造这种要求下的神经网提供了一个十分方便和有效的方法。作为例子，我们可以考虑由瞬间冷引起发热感觉的情况。
如果一个冰冷的物体贴近皮肤片刻，然后移走，就会有热的感觉；如果作用的时间更长一些，则只有冷的感觉，而不再有开始时即使是瞬间的热感。我们知道，有一种皮肤感受器能够对热起反应，而另外一种能够对冷起反应。如果我们用 $N _ { 1 }$ 和 $N _ { 2 }$ 分别表示这两种感受器的动作，用 $N _ { 3 }$ 和 ${ \pmb N } _ { 4 }$ 表示那些含有热冷感觉活动的神经元的动作，我们的要求就可写为：
1 神经活动内在概念的逻辑演算
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