第三，从一阶逻辑的实际情况看，它肯定是不够丰富而需要加以扩展的。我已经找到两种在我看来是必要的扩展方式：嵌入语，可使形式体系描述它自身的公式；一种非单值的司寇伦函数，类似于希尔伯特的符号ε。缺省的概念也许可以作为另一种方式(虽然到目前为止我还没有感到特别需要这个概念)。我希望在使用形式体系遇到困难时，这种扩展会自然而然地出现。同时，我认为，想要事先预见这些困难的做法是危险的，所以我不打算这样做。
- 公理-概念图：簇和稠密性
我们假定朴素物理学的形式化是存在的(我的看法是，它其实就存在干我的头脑中)，并准备对它的结构加以分析。它主要是由大量断言组成的，其中包括大量(非逻辑)符号：关系符号，函数和常数符号(或者是：框式标题，栏目名称，等等；或者是：节点和弧形标号，等等。以后，不再赘述这些显然等价的东西，而假定读者熟知它们)。我们采用一个中性的词，把这些符号称为标志。
标志的意义是由形式化的结构，即由诸断言之间的推理联结的模式定义的。这个结构可能非常复杂，但是我们可以采用反映本质的定性方法来对待它，从而达到某种基本认识。
我们规定，形式化是稠密的，如果对于每一标志，都存在着许多包含该标志的公理。一种稠密的形式化在分散的概念之间形成许多联系，这些概念是用形式化中的标志来表示的。稠密性显然有程度之分。因此，非稠密的形式化(稀疏的形式化)是不够理想的，因为它们不能足够准确地固定所含标志的意义。如果一个形式化规定(积木世界中）“在上方”关系仅仅就是：它是“位于其上”的可递闭合；并且，对“位于其上”的规定仅仅就是当一块积木没有任何东西“位于其上”时，就可以把它拣起来；而对“拣起来”的规定仅仅就是在拣起来之后就持有积木，等等(以此类推)—如果这就是形式化用这些标志规定的全部内容，那么其实很难说“位于其上”、“在上方”之类的概念已在形式化中得到表述。因为在我们的头脑中，这些概念还同其他许多概念相联结。如果一个东西在另一个东西上方，会出现各种结果。也许前一个的支撑垮了，落到后一个之上，于是两个物体的相对状况又有许多结果：顶上的那个可能为底下那个提供遮掩；如果底下的支撑住顶上的，那么底下一个就会由于顶上那个的重量而产生应变；如此等等。我们应当尽量捕获这种概念联系的丰富性。
人工智能哲学
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