$$
P r _ { 1 } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } - z z _ { n } )\tag{6}
$$
式中 $z z _ { n }$ 代表n，而 $z z _ { p }$ 代表 $2 ^ { p }$ 。经过重复替代，对代表s的任何数字$z z _ { 2 }$ 来说，我们就得到一个表达式：
$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \colon P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z z _ { n } z z _ { 2 } ) _ { \bullet } \equiv . ( E z _ { 2 } ) z z _ { p } ( E z _ { 3 } ) z z _ { p } \cdots ( E z _ { n } ) z z _ { p } . } \\ & { P r _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z z _ { n } ( z z _ { 2 } - 1 ) ) . P r _ { 2 } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } , z z _ { n } ( z z _ { 2 } - 1 ) ) . \cdots . } \\ & { P r _ { 2 } ( z _ { n - 1 } , z _ { n } , 0 ) . P r _ { 1 } ( z _ { n } , 0 ) _ { \circ } } \end{array}\tag{7}
$$
通过归纳，不难证明它与下式等效：
$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \ldots P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z z _ { n } z z _ { 2 } ) \div \equiv \colon \ : ( E f ) ( z _ { 2 } ) z z _ { 2 } - 1 f ( z _ { 2 } z z _ { n } ) } \\ & { z z _ { p } . \ : f ( z z _ { n } z z _ { 2 } ) = z _ { 1 } . \ : P r _ { 2 } ( f ( z z _ { n } ( z _ { 2 } + 1 ) ) , } \\ & { f ( z z _ { n } z z _ { 2 } ) ) . \ : P r _ { 1 } ( f ( 0 ) , \ : 0 ) } \end{array}\tag{8}
$$
既然这对所有 $z z _ { 2 }$ 都适用，因此下式也成立：
$$
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 4 } ) ( z _ { 1 } ) z z _ { p } \colon P r _ { 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 4 } ) _ { \star } \equiv _ { \star } ( E f ) ( z _ { 2 } ) ( z _ { 4 } - 1 ) _ { \star } f ( z _ { 2 } ) } \\ & { \leqslant z z _ { p } \star f ( z _ { 4 } ) = z _ { 1 } f ( z _ { 4 } ) = z _ { 1 } \cdot P r _ { 2 } \ \left[ f ( z _ { 2 } + 1 ) , f ( z _ { 2 } ) , z _ { 2 } \right] \ , } \\ & { P r _ { 1 } \ \left[ f ( r e s ( z _ { 4 } , z z _ { n } ) ) , r e s ( z _ { 4 } , z z _ { n } ) \right] \ , } \end{array}\tag{9}
$$
式中 $z z _ { n }$ 代表n， $r e s ( r , s )$ 是r除以s的余数，而 $z z _ { p }$ 代表 $2 ^ { p }$ 。它可以近似地写成
$$
\begin{array} { r l } & { N _ { i } ( t ) . \equiv . \left( E \varPhi \right) ( x ) t { - } 1 . \Phi ( x ) { \leqslant } 2 ^ { p } . \Phi ( t ) } \\ & { \qquad = i . P \left[ \Phi ( x { + } 1 ) , \Phi ( x ) . N \varPhi ( _ { 0 } ) ( 0 ) \right] , } \end{array}
$$
假定式中 x和t也能被n除尽，而 $P r _ { 2 }$ 代表 $P _ { \circ }$ 根据前面的论述，我们得到定理VI。
定理VⅢI
表达式(9)表示网H的那组循环神经元，它和用这组神经元表达其他神经元动作的某个TPE一起，构成了网H的一个解答。
现在来考虑一组 $S _ { i }$ 的可实现性问题。由简单归纳可证得的第一个必要条件是，如果对 $S _ { i }$ 中其他自由变量p存在着类似陈述，即任何神经网都不能计及未来的周围传入神经，则下式成立：
1 神经活动内在概念的逻辑演算
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